Уроки 37–38. Проект «Угадай задуманную букву». Часть 2

1-й этап. Строгое описание правил игры Угадай букву (разбор листа определений на с. 8)

Вначале предложите учащимся самостоятельно разобрать лист определений «Игра Угадай букву». Для закрепления материала можно попросить ребят написать цепочку какой-нибудь партии, например, из задач 2 и 3 тетради проектов. Опираясь на таблицу, цепочку партии написать будет несложно: первая бусина цепочки – это весь алфавит, а следующие бусины – мешки из последнего столбца таблицы (вычеркнутые буквы в этом случае можно просто не писать), последняя бусина цепочки – мешок с одной загаданной буквой.

Понятие дерева игры Угадай букву лучше обсудить подробно. В отличие от цепочки дерево игры на каждом уровне должно учитывать (содержать) обе возможные следующие позиции, которые могут получиться после очередного вопроса. Также для каждой позиции дерево должно предусматривать вопрос Игрока, который будет из нее задан. Приведенное на листе определений дерево достаточно простое для понимания. Здесь Игрок пытается угадать букву перебором по одной. Спросите ребят, сколько уровней будет иметь данное дерево, какое наибольшее число вопросов может понадобиться Игроку при такой стратегии. Постепенно в ходе обсуждения ребята понимают, что представленное дерево – самое длинное из возможных (конечно, для партии, где нет бессмысленных вопросов).

2-й этап. Общее обсуждение метода деления пополам (решение задачи 4)

На этом этапе мы задумываемся, как выглядит дерево игры Угадай букву, имеющее самое малое число уровней. Такое дерево гарантирует отгадывание любой буквы за определенное, достаточно небольшое число вопросов, т. е. помогает нам решить задачу, поставленную в начале данного проекта. Вначале интересно спросить ребят, за сколько ходов, по их мнению, можно гарантированно отгадать любую букву. Наверняка при ответах на этот вопрос учащиеся будут использовать материал таблиц из задач 2 и 3. Можно опросить победителей турниров в парах, какое число вопросов понадобилось им и могут ли они угадать любую букву за такое число вопросов. Возможно, найдутся дети, которые угадали букву в игре за 3–5 вопросов. Есть смысл поиграть у доски с теми учениками, которые будут утверждать, что угадают любую букву за определенное число вопросов. Если у них есть метод при подборе вопросов, его можно попробовать выявить, сформулировать.

Другой вариант плавного подхода к методу деления пополам возможно осуществить, если ребята получали дополнительное задание к задачам 2 и 3 – проанализировать вопросы и выделить из них наиболее удачные (можно провести эту работу и здесь). В таком случае нужно спросить ребят, какие вопросы они считают наиболее удачными с точки зрения любой игры (какая бы буква ни была загадана), и обсудить высказанные мнения. В спорных случаях можно также поиграть у доски.

Третий вариант – оттолкнуться от дерева, приведенного на листе определений. На предыдущем этапе ребята выяснили, что оно самое длинное. Какие вопросы были использованы при построении дерева? Видно, что на каждом уровне мешок делился на два мешка, в одном из которых одна буква, в другом – все остальные, то есть мешки, следующие за каждым мешком, сильно различались по числу букв в них. Чтобы построить самое короткое дерево, попробуем поступить наоборот – постараться придумать такие вопросы, которые будут делить буквы на два мешка примерно с одинаковым количеством букв.

Пример первого вопроса: «Загаданная буква есть среди букв А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С?» (или среди любого другого набора в 16 или 17 букв). Ответ на такой вопрос разделит мешок на две почти равные (букв-то нечетное число!) части. Ответ на второй вопрос должен разделить оставшиеся буквы на две (почти) равные части. Например: «Загаданная буква есть среди букв И Й К Л М Н О П Р С?» После ответа на третий такой вопрос останется только 4 или 5 букв, после ответа на четвертый – 2 или 3 буквы, а ответ на пятый вопрос почти всегда позволит назвать загаданную букву. Только в самом неудачном случае понадобится 6 вопросов.

Чтобы все ребята смогли убедиться в возможности угадывания буквы при использовании этого метода за 6 вопросов, можно снова поиграть. Первая партия может проходить у доски под контролем класса.

Буквы имеют естественный алфавитный порядок, поэтому проще всего делить их пополам, используя этот порядок – задавать вопросы вида «Эта буква идет в алфавите раньше буквы К?» Лучше всего поместить на доску рядом с играющими алфавитную линейку. В этом случае можно отмечать ответы на вопросы с помощью мела, фломастера или магнитных меток. При наличии такой цепочки можно после каждого вопроса отмечать новую цепочку букв, из которой надо выбирать.

Перед началом игры обратите внимание ребят на граничные буквы – они должны быть включены в ответ «нет».

После тренировочной партии у доски можно разбиться на пары и снова поиграть в Угадай букву. Все учащиеся должны убедиться в том, что при помощи этого метода игры можно отгадать любую букву не более чем за 6 вопросов. Метод, используемый нами, называется методом деления пополам.

Завершается знакомство с применением этого метода к игре Угадай букву построением соответствующего дерева игры (задача 4). Каждый учащийся заполняет пустые окна дерева. Можно посоветовать ребятам держать перед глазами алфавитную линейку. Вот один из вариантов заполненного дерева из задачи 4:

Применять метод деления пополам для игры Угадай букву можно и не используя идею алфавитного порядка, но это усложнит процесс придумывания вопросов. Например, вопрос «Эта буква входит в слова фразы «Информатика – друг человека»?» также делит алфавит на два почти равных мешка (16 и 17 букв) в зависимости от ответа Водящего. Аналогичные вопросы можно придумать и для всех последующих уровней. Если позволяет время на уроке, неплохо заполнить другой вариант дерева с применением метода деления пополам (задача 5). Если вопросы не используют алфавитный порядок, следует попросить ребят зайписывать, кроме букв, еще и вопросы. Вот один из вариантов заполненного дерева из задачи 5:

3-ий этап. Применение метода деления пополам для игры Угадай число (решение задач 6 и 7)

Метод деления пополам можно применить и к другим играм на угадывание, например к игре Угадай число. Эта игра аналогична игре Угадай букву, но здесь игра ведется на заранее оговоренном отрезке натурального ряда.

Сначала нужно договориться с ребятами о правилах игры, потом сыграть несколько пробных партий, например, на отрезке от 1 до 10. Затем попросите ребят сформулировать вопросы, применяя метод половинного деления. Например, для отрезка от 1 до 10 первый вопрос может быть таким: «Задуманное число больше 5?» Как и в предыдущей игре, следует обратить внимание на граничные числа.

Далее ребята решают задачи 6–8.

Конечно, детям проще всего использовать метод деления пополам, если на каждом шаге (после каждого вопроса) количество чисел в мешке удобно делится пополам. В этом случае не возникает проблем с вычислениями и дерево получается красивым (все листья на одном уровне). Такая ситуация возникает в том случае, если количество чисел в мешке равно какой-нибудь степени числа 2 (например, 8, 16, 64 и т. д.). При этом наименьшее число вопросов, которые потребуются, чтобы угадать число наверняка (независимо от везения), будет равно показателю степени (а уровней в дереве будет на один больше). Так, для поиска числа на отрезке от 1 до 16 (2 в четвертой степени) потребуется 4 вопроса, а на отрезке от 1 до 64 – 6 вопросов. По этой причине мы и предлагаем ребятам сначала решить задачи 6 и 7. Возможно, в задаче 6 детям покажется проще вписывать числа в окна, а не вырезать их из числовых линеек: ведь чисел там пока немного. Это вполне допустимо. Вот варианты заполненных деревьев из задачи 6:

4-й этап. Дополнительные и трудные задачи

Нам хотелось бы, чтобы ребята научились с помощью метода половинного деления искать число на любом отрезке натурального ряда. Поэтому после задач 6 и 7 мы предлагаем решить еще и задачу 8. Наименьшее количество вопросов, которое потребуется, чтобы наверняка угадать число на отрезке от 1 до 27, – 5. Вообще, наименьшее число вопросов равно показателю степени ближайшей степени двойки, больше числа объектов в начальной позиции. Так, если мы будем угадывать число на отрезке от 1 до 80, то необходимо 7 вопросов, так как ближайшая степень двойки, большая данного числа, – 128 (128 = 27). Поэтому для точного угадывания числа из интервала от 1 до 17 потребуется столько же вопросов, что и на отрезке от 1 до 31 (возможно, детям это покажется странным).

Конечно, все эти соображения не надо обсуждать с учащимися. Из них лишь становится ясно, почему при угадывании числа от 1 до любого числа, которое больше 16 и меньше 32, можно пользоваться заготовкой дерева из задачи 7 (с соответствующей начальной позицией). Однако по ходу работы ребятам придется его немного переделать, это касается бусин последних уровней. В задаче 8 нам не удастся разделить числа по мешкам поровну ни на втором, ни на последующих уровнях. В результате на четвертом уровне в каких-то мешках окажется по три числа. Поэтому на пятом уровне в каких-то мешках окажется одно число, эти мешки будут листьями, из них нужно выпустить стрелку, а две следующие бусины аккуратно зачеркнуть (или заклеить, если ребенок не любит черкать в тетради).

Если вы хотите, чтобы ребята дополнительно попрактиковались в построении деревьев игры Угадай число, где количество чисел в начальной позиции не равно степени двойки, то можете воспользоваться заготовками деревьев на вкладыше Тетради проектов на с. I – III. На с. I приведено два дерева для игр, где в начальной позиции должно быть не больше 16 чисел, а на с. II и III – не больше 32. Эти заготовки можно также использовать для игр, описанных ниже.

При желании вы можете предложить ребятам еще один вариант игры Угадай число, где отрезок натурального ряда начинается не с 1: например, угадать число от 50 до 80. В такой игре несколько интереснее будет решаться вопрос о делении мешков чисел на каждом уровне. Если вы предложите детям построение дерева такой игры, то можно пользоваться заготовками на вкладыше (если в начальной позиции будет не больше 32 чисел). Начинать заполнение дерева нужно с начальной позиции – записать в мешок первого уровня все числа из отрезка, на котором производится угадывание. Далее работа ведется аналогично решению задач 6 – 8.

Дополнительно можно предложить ребятам поиграть в игру Угадай ученика. В этой игре Водящий задумывает любого ученика из класса (надо заранее договориться, можно ли загадывать отсутствующих), а Игрок должен угадать его как можно за меньшее число вопросов. Для ребят такая игра, конечно, будет интересней, чем угадывание числа или буквы, да и вопросов здесь можно придумать гораздо больше, например: «Загаданный ученик сидит в среднем ряду?», «Загаданный ученик сидит за одной из первых трех парт?», «Загаданный ученик хорошист?», «Загаданный ученик светловолосый?» и т. д. Лучше вначале не наводить ребят на метод половинного деления, а дать им просто поиграть с любыми вопросами. Возможно, кто-то из детей сам вспомнит про него и попытается использовать. Может быть, в вашем классе дети делятся поровну по какому-то признаку (девочки–мальчики, учащиеся двух подгрупп, хорошисты – не хорошисты (надо заранее определиться, куда включать отличников). Универсальным видом упорядочения учеников является алфавитный список в журнале, который можно использовать для деления групп детей пополам на любом шаге (зато и вопросы будут уже не такими интересными). На доске стоит вывесить большой алфавитный список детей класса, чтобы ребята могли пользоваться им в игре. Закончить работу с данной игрой можно заполнением дерева игры (можно использовать заготовки на вкладыше, если число учеников в вашем классе не больше 32). В соответствующем мешке вместо фамилии и имени учащегося можно просто писать его номер в алфавитном списке. Возможно, вы заполните два дерева: одно с опорой на алфавитный список, другое – с делением по разным признакам. Во втором случае лучше записать между соответствующими уровнями бусин вопросы.

Чтобы у ребят не сложилось впечатление, что метод половинного деления используется только для игр (ведь он универсальный и позволяет решать самые разные задачи), можно на завершающем этапе проекта предложить несколько математических задач, где используется так же идея. Ниже мы приводим несколько примеров таких задач.

Задача 1. Имеется стопка из 8 монет, одна из которых фальшивая (она отличается по весу от всех остальных). Как, имея 4 нефальшивые монеты и чашечные весы, найти фальшивую монету за 3 взвешивания?

Задача 2. Имеется полоска бумаги длиной 64 см с точкой, отмеченной на ней. Как, имея только ножницы, отрезать от этой полоски кусочек длиной 1 см так, чтобы на нем находилась отмеченная точка? Какое наименьшее число разрезов для этогонеобходимо сделать?

Задача 3. Имеется стопка из 27 монет, одна из которых фальшивая (она легче настоящих). Как за 3 взвешивания на чашечных весах найти фальшивую монету?

В задаче 3 используется не совсем метод половинного деления, а скорее, его обобщение – деление предметов на равные кучки и выяснение, в какой кучке находится искомый предмет. Действительно, результаты взвешиваний дают нам информацию, аналогичную ответам Водящего в игре Угадай число, но одно взвешивание дает больше информации, чем ответ по типу «да – нет». Так, играя с Водящим, мы могли бы угадать фальшивую монету из трех монет наверняка за 2 вопроса. Имея вместо Водящего чашечные весы, мы можем найти из трех монет фальшивую за одно взвешивание. Возьмем 2 любые монеты из трех и положим на чаши весов. Если чаши не пришли в равновесие, то более легкая монета – фальшивая. Если чаши пришли в равновесие, то фальшивая монета – третья, которую мы не взвешивали. Именно поэтому в данной задаче удобно делить на каждом этапе все монеты не на 2, а на 3 стопки. Только в этом случае можно будет найти фальшивую монету за 3 взвешивания.

Обсуждение результатов и подведение итогов

Наверняка каждый из ребят в ходе проекта научился использовать метод половинного деления для угадывания. Можно, подводя итог, попросить ребят сформулировать общий алгоритм любой такой игры. Он прост – после каждого вопроса мешок, в котором содержится данный объект, должен уменьшаться в 2 раза (или почти в 2 раза, если число объектов на предыдущем этапе было нечетным). В процессе проведения проекта выяснили, что при такой стратегии игры мы наверняка угадаем объект за наименьшее число вопросов. Возможно, кого-то из ребят заинтересует, как определить наименьшее число вопросов, имея число объектов в начальной позиции, но не строя дерева игры (ведь это же долго, да и объектов в начальной позиции может быть много, тогда дерево получится очень громоздким). Для ответа на данный вопрос достаточно просто смоделировать ситуацию половинного деления в игре на каждом шаге. Графически результат можно представить в виде цепочки, каждая следующая бусина которой в два раза меньше предыдущей. Если число объектов в предыдущей бусине на два нацело не делится, то берем большее число. Например, для угадывания числа из интервала от 1 до 100 цепочка, содержащая число объектов, после каждого шага будет выглядеть так:

100 – 50 – 25 – 13 – 7 – 4 – 2 – 1

Таким образом, наименьшее необходимое число вопросов в данной игре – 7.

Лучше всего, если, завершая проект, ребята продемонстрируют, чему они научились. Для этого можно взять любую игру на угадывание, заранее выяснить наименьшее число вопросов и сыграть парами, пытаясь угадать объект за такое число вопросов.