Урок 23. Мешок. Одинаковые и разные мешки (повторение)

План урока

  1. Работа с листом определений «Мешок. Одинаковые и разные мешки»
  2. Решение обязательных задач бумажного учебника 105–109.
  3. Работа с клавиатурным тренажером, занятие 5.
  4. Решение необязательных задач бумажного учебника 110.

Работа с листом определений «Мешок. Одинаковые и разные мешки»

Материал, который содержится на этом листе определений ребятам в основном знаком. Здесь дети вспоминают, что такое мешок (конечное мультимножество), что такое одинаковые и разные мешки. Также дети вспоминают лексику, которую мы чаще всего употребляем по отношению к элементам мешка – понятия «есть», «нет», «всего». Подробное обсуждение всех этих вопросов можно найти в методических комментариях к курсу 1 класса. Здесь мы напомним лишь основные моменты. Как вы помните, мешок – дискретная неупорядоченная структура (элементы в ней сложены в кучу без всякого порядка). Одинаковыми мы считаем мешки, в которых содержатся одинаковые наборы элементов. Если мешки различаются хотя бы одним элементом, то они считаются разными. Употребление понятий «есть» и «всего» в нашем курсе различаются. Говоря, что в мешке есть два яблока, мы не исключаем возможности, что в мешке может быть три, четыре и вообще сколько угодно яблок. Общее число яблок в данном мешке выходит за рамки объема данного утверждения, мы лишь констатируем, что 2 яблока там точно лежит. Говоря, что в мешке ровно 2 яблока, мы указываем общее число яблок в мешке. Конкретно мы имеем в виду, что два яблока в мешке есть, а трех – нет.

Новым по сравнению с соответствующим материалом 1 класса на листе определений является лишь последний пример. На него стоит обратить внимание ребят. Как вы помните, в 1 классе мы говорили всегда только о двух разных мешках. Во 2 классе мы будем употреблять понятие «разные мешки» (или «все разные») по отношению к любому числу мешков ровно в том же значении, как мы употребляли понятие «все разные» для фигурок, а затем – для цепочек. То есть, говоря, что все мешки здесь разные, мы будем иметь в виду, что здесь нет двух одинаковых мешков.

Решение обязательных бумажных задач

Задача 105. На примере этой задачи ребята должны вспомнить всевозможные приемы поиска двух одинаковых мешков в наборе. Один из них, как всегда, хаотичное просматривание, которое у многих детей здесь даст положительный результат. Другой прием – деление мешков на группы и сравнение мешков только внутри групп. Признаки, по которым мешки делятся на группы могут быть разными. Например, в некоторых мешках есть голубая квадратная бусина, а в других ее нет. Значит, мешки К, О и М можно определить в одну группу, а остальные мешки в другую. Теперь три мешка в каждой группе легко сравнить между собой. Так находим одинаковые мешки О и М.

Задача 106. Здесь дети повторяют лексику, относящуюся к элементам мешка, в частности, понятия «есть», «нет». Кроме того, детям потребуются некоторые простейшие знания из русского языка, касающиеся букв. Разные дети будут идти разными путями. Кто-то будет перебирать мешки по очереди и для каждого проверять оба условия. Другие дети сначала проверят для всех мешков одно условие, вычеркнут неподходящие мешки и для оставшихся мешков проверят другое условие. Вторую стратегию можно реализовать быстрее, но не нужно сворачивать детей с выбранного способа решения. Важно другое – чтобы все ребята действительно выполнили полный перебор всех мешков, поскольку нам необходимо найти все мешки, соответствующие условию задачи. В результате получаем, что условию задачи соответствуют ровно 2 мешка.

Задача 107.  В этой задаче ребята продолжаю повторять лексику, связанную с элементами мешка. Особенно стоит обратить внимание на различие в употреблении понятий «есть» и «всего». Так второе утверждение истинно, поскольку среди фигурок мешка действительно имеется 5 черепах, в третье утверждение ложно, поскольку всего в мешке 9 черепах. На примере этой задачи дети также вспоминаю тему «Одинаковые фигурки». В частности фигурки, полученные друг из друга поворотом, или переворотом мы считаем разными (в отличие от понятия «разные», принятого в геометрии). Поэтому четвертое утверждение будет истинным (здесь есть две одинаковые оранжевые черепахи и две одинаковые голубые черепахи), а пятое – ложным (трех одинаковых черепах здесь нет).

Задача 108. Задача на повторение порядка бусин в цепочке относительно ее начала и конца. Здесь ребятам предстоит достраивать цепочку по описанию и как обычно в таких задачах наиболее актуальным является вопрос, в каком порядке использовать данные утверждения, чтобы работа не заходила в тупик. Конечно, стоит начинать с утверждений, которые определяют положение букв однозначно. В данном случае таких утверждений много, поэтому решение строится достаточно легко, это все утверждения кроме первого и второго. Они независимы друг от друга, поэтому их можно использовать в любом порядке. После этого оказывается, что второе утверждение уже истинно, а в цепочке осталось лишь одно свободное место, на которое мы, используя первое утверждение ставим букву Т. Получаем слово КОМПЬЮТЕР.

Задача 109. При решении данной задачи ребенок столкнется с ситуацией, когда истинность утверждения, данного в задаче (первого), не зависит от его действий: в этой цепочке уже есть 14 квадратных бусин, и изменить это ребенок не сможет. Что касается второго утверждения, здесь дело обстоит иначе – придется считать синие треугольные бусины в исходной цепочке и раскрашивать синим ровно столько треугольных бусин, чтобы условие выполнялось. Конечно, последнее задание дано ребятам для самопроверки, проверьте, что никто их ребят его не пропустил.

Решение необязательных бумажных задач

Конечно, разделение необязательных задач на страницах 53–56 довольно условно. Если кто-то из ребят справится с задачей 110 быстро, а время на уроке еще останется, следует предложить ему задачи 114, 115 или 118 (решение этих задач см. в комментариях к уроку 24).

Задача 110. В этой же задаче ребенку впервые предлагается самому придумать утверждение, истинное для этой цепочки. Умения такого рода мы считаем важными и нужными, поэтому просим вас проследить, чтобы всем детям, взявшимся за эту задачу, удалось выполнить это задание. Если при записи утверждения ребенок допустит какие-то грамматические или стилистические ошибки, но по сути утверждение будет отвечать условию задачи, значит, задача решена правильно. Сначала обязательно похвалите ребенка, а уж потом можно вместе исправить ошибки и сформулировать утверждение более гладко.

Урок 24. Мешок. Одинаковые и разные мешки (повторение)

План урока

  1. Решение электронных задач 220–224.
  2. Решение обязательных задач бумажного учебника 111–113, 115, 117.
  3. Решение необязательных задач бумажного учебника 114, 116, 118.

Решение электронных задач
Построение мешков в электронных задачах

Как видите, во 2 классе мы употребляем формулировку «Построй мешок», знакомую детям по бумажным задачам (как первого, так и второго класса). При этом мы не даем ребятам для построения мешка специального инструмента (как с цепочкой), а рисуем мешок заранее сами. На самом деле в изготовлении специального электронного инструмента просто нет методической необходимости. Поскольку мешок полностью задается набором своих элементов (в отличие от цепочки), то указав (положив лапкой в мешок) все элементы мешка ребенок фактически и задает (строит) мешок. То есть появление нового инструмента не меняет содержания деятельности ребят.

Задача 220. Это, конечно, совсем простая задача. Ее цель –  вспомнить, как с помощью электронной лапки построить мешок. Как видите, по электронному инструментарию задачи 2 класса на построение мешка ничем не отличаются от задач, которые были у нас в курсе 1 класса. Правда, в 1 классе в таких задачах мы употребляли формулировку «собери мешок», более понятную с точки зрения жизненного опыта детей. Теперь мы переходим на общую лексику в бумажных и электронных задачах. В дальнейшем ребятам придется строить мешки по системе из нескольких условий. В этой задаче условие одно – в мешке должно быть ровно две бусины. Они могут быть как одинаковыми, таи и разными. Напомним, что дети должны помещать элементы (бусины или фигурки) в мешок, так, чтобы они не наезжали на границы мешка, то есть целиком находились в серой (внутренней) области мешка.

Задача 221. Здесь детям снова предстоит построение мешка, но условий уже больше. Кроме того, здесь используются понятия «есть» и «всего» и ребята должны понимать различие между ними. Так первое утверждение говорит о том, что в мешке ровно 2 медведя – в мешке есть 2 медведя, но нет трех. Второе же утверждение говорит, что в мешке есть 3 зайца. Это означает, что зайцев может быть как ровно 3, так и больше. Поскольку общее число фигурок в мешке не указано, подходящих мешков здесь может быть много. Например, в мешке, кроме двух медведей и нескольких (не меньше трех) зайцев, может быть несколько лис (птиц в мешке быть не должно).

Задача 222.  Как видите, это практическая информационная задача. Конечно, в окружающем ребенка мире аналогов мешков очень много. В этой задаче ребятам встречается один из таких примеров – кошелек (мешок) с деньгами. Мешки, встречающиеся в жизни, кроме обсуждаемых в курсе имеют часто свои интересные, специфические особенности. Например, для кошелька с деньгами важнее, не то, сколько там монет, а то, какого достоинства эти монеты. Именно это определяет, какая сумма денег находится в этом кошельке и что на эти деньги можно купить. Еще одно интересное свойство денежных наборов состоит в том, что одну и ту же сумму денег можно получить с помощью разных наборов монет. Постепенно, в ходе решения серии задач о денежных наборах ребятам предстоит не только понять эту мысль, но и научиться составлять разные денежные наборы для одной и  той же суммы денег. То есть, детям предстоит еще один выход в область комбинаторики. Поскольку эта задача – первая из этой серии, пока такой задачи не стоит. Здесь достаточно придумать хотя бы один любой подходящий набор, а решений здесь много. Объединять их будет, пожалуй, одно – в каждом таком мешке будет хотя бы одна монета достоинством в 1 рубль (подумайте, почему!). А вообще, можно положить в мешок 23 монету по рублю, или – 11 монет по 2 рубля и 1 рубль, или 4 моменты по 5 рублей, одну в 2 рубля и одну в один рубль. Это лишь три из возможных решений, на самом деле их гораздо больше. Приготовьтесь, к тому, что решения у детей будут самые разные. Это создаст вам сложности при проверке. Если вы хотите их избежать, можно провести парную проверку, поменяв детей местами за компьютерами.

Задача 223.  Здесь дети повторяют понятие «Одинаковые мешки». Сложность этой задачи в том, чтобы сравнивать придется элементы сразу шести мешков. Конечно, сообразительные дети сразу сделают вывод – если из каждого мешка нужно вынуть по две буквы, значит во всех мешках есть одинаковые наборы из 6 букв. Проще всего сразу их найти. Например, берем любую букву из первого мешка и ищем ее во всех остальных мешках. Если мы ее нашли, можно сразу эту букву обвести во всех мешках, а если – нет, нужно из первого мешка ее вынуть. Теперь берем следующую букву и т.д., до тех пор, пока все букву в первом мешке не кончатся. В результате в первом мешке должно остаться ровно 6 букв и все они будут обведены. Заметим, что и во всех остальных мешках эти же буквы будут обведены тоже. Теперь осталось только вынуть из остальных мешков все буквы, которые не обведены. Конечно, это лишь одна из формальных стратегий решения. Ребята могут использовать многие другие или решать методом проб и ошибок. Поэтому хорошо бы попросить детей сделать здесь проверку – обвести во всех мешках совпадающие буквы и убедиться, что мешки действительно одинаковые. 

Задача 224. Необязательная. Эта задача уже немного комбинаторная, хотя перебором, скорее всего, никто из ребят не воспользуется. Слишком уж много здесь подходящих мешков. Подойдет мешок из 6 двухрублевых монет, 12 рублевых монет, 2 пятирублевых и одной двухрублевой и т.д. Хотя эта задача помечена как необязательная, при наличии времени на уроке можно предложить ее даже слабому ребенку.

Решение обязательных бумажных задач

Задача 111. Больше всего эта задача напоминает бумажную задачу 106 из прошлого урока и стратегии ее решения в точности такие же. В любом случае здесь необходим полный перебор всех мешков с числами, но организовать его можно по-разному. Один из вариантов – проверять для каждого мешка оба условия. Другой вариант – проверить для всех мешком сначала первое условие, вычеркнуть все неподходящие мешки, а затем для оставшихся проверять второе условие.  Например, вычеркнем все мешки. В которых не шесть чисел. После этого у нас остается лишь три мешка, для которых надо проверить второе условие (отсутствие одинаковых чисел). После этого выясняется, что условию задачи удовлетворяет ровно 2 мешка.

Задача 112. Многие ребята будут решать эту задачу без системы, методом проб и ошибок. Если они при этом построят правильное решение, не нужно их поправлять (но нужно обязательно попросить сделать проверку!).  Если же ребенок запутался, попросите его сделать полный перебор по раскрашенным бусинам в мешках. Возьмем сначала первый мешок и в нем любую раскрашенную бусину. Если такая же бусина во втором мешке есть, то обе эти бусины помечаем, если нет – раскрашиваем во втором мешке любую нераскрашенную бусину такой же формы в такой же цвет. Как видите, одинаковых бусин в мешках нет, поэтому для каждой бусины пару придется раскрашивать. Так мы будем делать до тех пор, пока все раскрашенные бусины в первом мешке не окажутся помеченными. Теперь проделаем ту же работу с непомеченными раскрашенными бусинами второго мешка. После этого у нас получится два одинаковых мешка.

Задача 113. Как и во многих других задачах, здесь возможны разные стратегии. Все они конечно должны включать полный перебор слов, но вести его можно по-разному. Первая стратегия – для каждого слова по очереди проверять оба утверждения. Вторая стратегия – проверить сначала для всех слов первое утверждение и вычеркнуть неподходящие слова, а затем для оставшихся проверить второе утверждение. Третья стратегия состоит в том, чтобы сразу заготовить себе подходящие шаблоны-последовательности данных букв в слове, соответствующие обоим утверждениям, а затем просто сверять слова с этими шаблонами. Так из первого утверждения следует, что в искомых словах должна быть последовательность С…Е. Если к этом у добавить второе утверждение, то получаем два возможных шаблона-последовательности: С…Т….Е или С…Е…Т. В частности, из этого следует, что нам подойдут все слова с первой «С», поскольку в них есть «Е» и «Т». Ясно, что слова с первой «Т» нам заведомо не подходят. Из оставшихся слов нам подходит только слово УСПЕТЬ. Всего помеченными оказываются 12 слов.

Задача 115. О стратегиях поиска одинаковых мешков мы много говорили в курсе 1 класса. Здесь повторим лишь основные способы. Первый способ – хаотичное просматривание (метод проб и ошибок), которое в ряде случаев позволяет найти решение. Второй – полный перебор и сравнение каждого мешка с каждым. В отличие от первого способа он позволяет найти решение наверняка, но занимает довольно много времени. Поэтому проще использовать третий способ – деление мешков на группы по некоторому признаку и сравнение мешков только внутри своей группы. Признаки при этом могут быть разными. В данной задаче можно, например, использовать число фигурок в мешках. Мы видим, что в трех мешках по 8 фигурок и в трех мешках по 9 фигурок. Ясно, что в группе их трех мешков найти два одинаковых оказывается не так уж сложно.

Задача 117. Конечно, первый мешок гласных букв можно написать любой, надо только постараться, чтобы не было двух одинаковых букв и чтобы букв было ровно 9. В русском языке, как известно, 10 гласных букв. Поэтому, чтобы построить второй мешок отличный от первого достаточно найти ту гласную букву, которая не встречается в первом мешке и сразу вписать ее во второй мешок. После этого можно дополнить этот мешок любыми восьмью равными гласными буквами.

Решение необязательных бумажных задач

Задача 114. Как видите, областей в этой картинке много, но они достаточно легко выделяются. Поэтому данную задачу под силу решить даже среднему ребенку, но техничному и не слишком рассеянному.
В данной картинке 21 область.

Задача 116. Эта задача комбинаторного характера. Поскольку во всех мешках наборы раскрашенных бусин одинаковые, мы можем сделать все мешки разными только за счет нераскрашенных бусин. То есть задачи сводится к тому, чтобы используя только 2 цвета получить 6 разных наборов из трех бусин. Взрослому человеку (или сообразительному ребенку) не сложно прикинуть – раз бусину каждой формы можно раскрасить в каждый из двух цветов, а раскраска бусин не зависима, значит получаем 8 комбинаций. Нам надо найти лишь 6 из этих комбинаций, но не всем детям удастся это сделать методом проб и ошибок. Если вы видите, что ребенок сильный (более слабому ребенку можно посоветовать перейти к другой задаче), наведите его на мысль о переборе или хотя бы скорректируйте его наборы, используя свои знания. Так, если вы видите, что у ребенка больше 4 наборов с бусиной одной формы и одного цвета, то ошибка именно в этом. Посоветуйте ребенку распределить цвета по формам поровну.

Задача 118. Не слишком сложная задача. В случае затруднения можно предложить ребенку выписать все названия месяцев и для каждого посчитать число букв. Как видим, условию удовлетворяет лишь одно слово – СЕНТЯБРЬ.