Задача No. 54461

В параллелограмме ABCD биссектриса угла BAD пересекает сторону CD в точке M, причём ${\frac{DM}{MC}}$ = 2. Известно, что угол CAM равен $\alpha$ . Найдите угол BAD.

Скрыть решение

Подсказка

Примените теорему синусов к треугольнику ACD.

Решение

Обозначим $\angle$ BAD = $\varphi$ , MC = x, DM = 2x. Поскольку $\angle$ AMD = $\angle$ BAM = $\angle$ MAD, то треугольник AMD — равнобедренный, AD = DM = 2x. В треугольнике ADC известно, что

CD = 3x, AD = 2x, $\displaystyle \angle$ CAD = $\displaystyle \angle$ CAM + $\displaystyle \angle$ MAD = $\displaystyle \alpha$ + $\displaystyle {\frac{\varphi}{2}}$ ,

$\displaystyle \angle$ ACD = $\displaystyle \angle$ AMD - $\displaystyle \angle$ CAM = $\displaystyle {\frac{\varphi}{2}}$ - $\displaystyle \alpha$ .

По теореме синусов

$\displaystyle {\frac{AD}{\sin \angle ACD}}$ = $\displaystyle {\frac{CD}{\sin \angle CAD}}$ $\displaystyle \Rightarrow$ $\displaystyle {\frac{2x}{\sin \left(\frac{\varphi}{2} - \alpha \right)}}$ = $\displaystyle {\frac{3x}{\sin \left(\frac{\varphi}{2} + \alpha \right)}}$ $\displaystyle \Rightarrow$

$\displaystyle \Rightarrow$ 2 sin $\displaystyle \left(\vphantom{\frac{\varphi}{2} + \alpha }\right.$ $\displaystyle {\frac{\varphi}{2}}$ + $\displaystyle \alpha$ $\displaystyle \left.\vphantom{\frac{\varphi}{2} + \alpha }\right)$ = 3 sin $\displaystyle \left(\vphantom{\frac{\varphi}{2} - \alpha }\right.$ $\displaystyle {\frac{\varphi}{2}}$ - $\displaystyle \alpha$ $\displaystyle \left.\vphantom{\frac{\varphi}{2} - \alpha }\right)$ $\displaystyle \Rightarrow$

$\displaystyle \Rightarrow$ 2 sin $\displaystyle {\frac{\varphi}{2}}$ cos $\displaystyle \alpha$ + 2 cos $\displaystyle {\frac{\varphi}{2}}$ sin $\displaystyle \alpha$ = 3 sin $\displaystyle {\frac{\varphi}{2}}$ cos $\displaystyle \alpha$ - 3 cos $\displaystyle {\frac{\varphi}{2}}$ sin $\displaystyle \alpha$ .

Поэтому

sin $\displaystyle {\frac{\varphi}{2}}$ cos $\displaystyle \alpha$ = 5 cos $\displaystyle {\frac{\varphi}{2}}$ sin $\displaystyle \alpha$ .

Следовательно, tg ${\frac{\varphi}{2}}$ = 5tg $\alpha$ .

Ответ

2arctg(5tg $\alpha$ ).

Условие

Подсказка

Решение

Ответ