Условие

Равнобедренный треугольник ABC ( C = 90^o) и треугольник DEF расположены так, что точка D лежит на стороне AB, а точка E — на продолжении стороны AB за точку A. Отрезок KL является средней линией в обоих треугольниках, и площадь четырёхугольника DKLB составляет площади треугольника ABC. Найдите угол DEF.

---

Скрыть решение

Подсказка

Докажите, что KD перпендикулярно AB.

Решение

Заметим, что точки C и F лежат по одну сторону от прямой AB. Обозначим AB = 4a. Тогда

KL = 2a, ED = 2KL = 4a.

Далее имеем:

S_AKLB = S_ABC - S_KLC = S_ABC - S_ABC = S_ABC,

S_AKD = S_AKLB - S_DKLB = S_ABC - S_ABC = S_ABC.

Если M — проекция точки K на AB, а P — середина AB, то KM — средняя линия треугольника ACP. Поэтому

S_AKM = S_ACP = S_ABC.

Отсюда следует, что точки D и M совпадают. Тогда

tgDEF = = = .

Ответ

arctg.