Задача No. 54297

На отрезке AB лежат точки C и D, причём точка C — между точками A и D. Точка M взята так, что прямые AM и MD перпендикулярны и прямые CM и MB также перпендикулярны. Найдите площадь треугольника AMB, если известно, что величина угла CMD равна $\alpha$ , а площади треугольников AMD и CMB равны S₁ и S₂ соответственно.

Скрыть решение

Подсказка

Обозначьте: AM = x, CM = y, DM = z, BM = t и составьте систему уравнений.

Решение

Обозначим AM = x, CM = y, DM = z, BM = t, S_AMB = S. Тогда

S₁ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ xz, S₂ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ yt, S_CMD = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ yz sin $\displaystyle \alpha$ , S₁ + S₂ - S_CMD = S,

S = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ xt sin $\displaystyle \angle$ AMB = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ xt sin(180^o - $\displaystyle \alpha$ ) = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ xt sin $\displaystyle \alpha$ .

Получим систему уравнений

$\displaystyle \left\{\vphantom{ \begin{array}{lll} xtyz = 4S_{1}S_{2}\\ S_{1} + S_{2}- \frac{1}{2}yz\sin \alpha = S, \\ \end{array} }\right.$ $\displaystyle \begin{array}{lll} xtyz = 4S_{1}S_{2}\\ S_{1} + S_{2}- \frac{1}{2}yz\sin \alpha = S, \\ \end{array}$

или

$\displaystyle \left\{\vphantom{ \begin{array}{lll} xtyz = 4S_{1}S_{2}\\ S_{1... ...- \frac{1}{2}yz\sin \alpha =\frac{1}{2}xt\sin \alpha, \\ \end{array} }\right.$ $\displaystyle \begin{array}{lll} xtyz = 4S_{1}S_{2}\\ S_{1} + S_{2}- \frac{1}{2}yz\sin \alpha =\frac{1}{2}xt\sin \alpha, \\ \end{array}$

или

$\displaystyle \left\{\vphantom{ \begin{array}{lll} xt\cdot yz = 4S_{1}S_{2}\\ xt+yz =\frac{2(S_{1} + S_{2})}{\sin \alpha}.\\ \end{array} }\right.$ $\displaystyle \begin{array}{lll} xt\cdot yz = 4S_{1}S_{2}\\ xt+yz =\frac{2(S_{1} + S_{2})}{\sin \alpha}.\\ \end{array}$

Из этой системы находим, что

xt = $\displaystyle {\frac{S_{1}+ S_{2} \pm \sqrt{(S_{1}+S_{2})^{2}- 4S_{1}S_{2}\sin ^{2}\alpha}}{\sin \alpha}}$ .

Поэтому

S = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ xt sin $\displaystyle \alpha$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ $\displaystyle \left(\vphantom{S_{1}+ S_{2} \pm \sqrt{(S_{1}+S_{2})^{2}- 4S_{1}S_{2}\sin^{2} \alpha}}\right.$ S₁ + S₂± $\displaystyle \sqrt{(S_{1}+S_{2})^{2}- 4S_{1}S_{2}\sin^{2} \alpha}$ $\displaystyle \left.\vphantom{S_{1}+ S_{2} \pm \sqrt{(S_{1}+S_{2})^{2}- 4S_{1}S_{2}\sin^{2} \alpha}}\right)$ .

Поскольку S > S₁ и S > S₂, то S > ${\frac{S_{1}+ S_{2}}{2}}$ . Поэтому условию задачи удовлетворяет только

S = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ $\displaystyle \left(\vphantom{S_{1}+ S_{2} + \sqrt{(S_{1}+S_{2})^{2}- 4S_{1}S_{2}\sin^{2} \alpha}}\right.$ S₁ + S₂ + $\displaystyle \sqrt{(S_{1}+S_{2})^{2}- 4S_{1}S_{2}\sin^{2} \alpha}$ $\displaystyle \left.\vphantom{S_{1}+ S_{2} + \sqrt{(S_{1}+S_{2})^{2}- 4S_{1}S_{2}\sin^{2} \alpha}}\right)$ .

Ответ

${\frac{1}{2}}$ $\left(\vphantom{S_{1}+ S_{2}+ \sqrt{(S_{1}+S_{2})^{2}- 4S_{1}S_{2}\sin ^{2}\alpha}}\right.$ S₁ + S₂ + $\sqrt{(S_{1}+S_{2})^{2}- 4S_{1}S_{2}\sin ^{2}\alpha}$ $\left.\vphantom{S_{1}+ S_{2}+ \sqrt{(S_{1}+S_{2})^{2}- 4S_{1}S_{2}\sin ^{2}\alpha}}\right)$ .

Условие

Подсказка

Решение

Ответ