Задача No. 54296

В трапеции ABCD точки K и M являются соответственно серединами оснований AB и CD. Известно, что AM перпендикулярно DK и CK перпендикулярно BM, а угол CKD равен 60^o. Найдите площадь трапеции, если её высота равна 1.

Скрыть решение

Подсказка

Через вершины C и D проведите прямые, параллельные прямым MB и MA соответственно.

Решение

Обозначим AK = KB = a, DM = MC = b. Через точку C проведём прямую, параллельную BM, до пересечения с прямой AB в точке P, а через точку D — прямую, параллельную AM, до пересечения с прямой AB в точке Q. Тогда

KQ = AK + AQ = AK + MD = a + b, KP = KB + BP = KB + MC = a + b.

Прямоугольные треугольники треугольники QDK и PCK равны по гипотенузе и высоте, проведённой к гипотенузе.

Предположим, что $\angle$ DQK = $\angle$ CKP. Тогда DQ || CK. Поэтому AQDM — параллелограмм, значит KQ = CD, т.е. b + a = 2b. Отсюда следует, что a = b, т.е. ABCD — параллелограмм, что противоречит условию задачи (ABCD — трапеция).

Таким образом,

$\displaystyle \angle$ DKQ = $\displaystyle \angle$ CKP = 60^o.

а площадь каждого из этих треугольников равна половине площади трапеции (т.к. QK = AK + DM и PK = KB + MC). Следовательно,

S_KCP = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ KP^.1 = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ^. $\displaystyle {\frac{4}{\sqrt{3}}}$ = $\displaystyle {\frac{2}{\sqrt{3}}}$ ,

S_ABCD = 2S_KCP = $\displaystyle {\frac{4}{\sqrt{3}}}$ .

Ответ

${\frac{4\sqrt{3}}{3}}$ .

Условие

Подсказка

Решение

Ответ