Решение
Пусть a + b + c
11. Тогда
28a + 30b + 31c
31(a + b + c)
11 . 31 = 341 < 365.
Противоречие. Пусть
a + b + c31(a + b + c)11 . 31 = 341 < 365.
14. Тогда
28a + 30b + 31c
28(a + b + c)
28 . 14 = 392 > 365.
И этого быть не может! Осталось доказать, что a + b + c не может равняться 13.
Итак, пусть a + b + c = 13. Вариант a = 13, b = c = 0 не удовлетворяет условию:
28(a + b + c)28 . 14 = 392 > 365.
28 . 13 + 30 . 0 + 31 . 0 = 364
365.
Остается вариант a + b + c = 13, a < 13. В этом случае
b + c = 13 - a > 0 и
365.
28a + 30b + 31c = 28(a + b + c) + 2b + 3c
28 . 13 + 2(b + c).
Первое слагаемое равно 364, а второе — не меньше 2. Значит, сумма не меньше
366, и не может равняться 365.
28 . 13 + 2(b + c).
См. также задачу 1 для 8 класса.