Задача No. 54184

Дан треугольник со сторонами a, b и c. Докажите, что если медианы, проведённые к сторонам a и b, взаимно перпендикулярны, то a² + b² = 5c².

Скрыть решение

Подсказка

Медианы треугольника делятся точкой пересечения в отношении 2 : 1, считая от вершины.

Решение

Пусть медианы AM и BN треугольника ABC со сторонами AB = c, AC = b и BC = a взаимно перпендикулярны и пересекаются в точке P. Обозначим PM = x, PN = y. Тогда по теореме медианах AP = 2x, BP = 2y. Применив теорему Пифагора к прямоугольным треугольникам APN и BPM, получим, что

4x² + y² = $\displaystyle {\frac{b^{2}}{4}}$ , x² + 4y² = $\displaystyle {\frac{a^{2}}{4}}$ .

Поэтому

5x² + 5y² = $\displaystyle {\frac{a^{2} + b^{2}}{4}}$ , x² + y² = $\displaystyle {\frac{a^{2} + b^{2}}{20}}$ .

Из прямоугольного треугольника APB, находим, что

c² = AB² = 4x² + 4y² = $\displaystyle {\frac{a^{2} + b^{2}}{5}}$ ,

откуда a² + b² = 5c².

Второй способ.

Пусть AM, BN и CK — медианы треугольника ABC со сторонами AB = c, AC = b и BC = a. Обозначим

$\displaystyle \overrightarrow{AB}$ = $\displaystyle \overrightarrow{c}$ , $\displaystyle \overrightarrow{BC}$ = $\displaystyle \overrightarrow{a}$ , $\displaystyle \overrightarrow{CA}$ = $\displaystyle \overrightarrow{b}$ .

Тогда

| $\displaystyle \overrightarrow{c}$ | = c, | $\displaystyle \overrightarrow{a}$ | = a, | $\displaystyle \overrightarrow{b}$ | = b,

$\displaystyle \overrightarrow{AM}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ( $\displaystyle \overrightarrow{AB}$ + $\displaystyle \overrightarrow{AC}$ ) = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ( $\displaystyle \overrightarrow{c}$ - $\displaystyle \overrightarrow{b}$ ),

$\displaystyle \overrightarrow{BN}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ( $\displaystyle \overrightarrow{BC}$ + $\displaystyle \overrightarrow{BA}$ ) = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ( $\displaystyle \overrightarrow{a}$ - $\displaystyle \overrightarrow{c}$ ),

$\displaystyle \overrightarrow{CK}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ( $\displaystyle \overrightarrow{CA}$ + $\displaystyle \overrightarrow{CB}$ ) = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ( $\displaystyle \overrightarrow{b}$ - $\displaystyle \overrightarrow{c}$ ),

Поскольку AM $\perp$ BN, то скалярное произведение векторов $\overrightarrow{AM}$ и $\overrightarrow{BN}$ равно 0, т.е. $\overrightarrow{AM}$ ^. $\overrightarrow{BN}$ = 0. Следовательно,

$\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ( $\displaystyle \overrightarrow{AB}$ + $\displaystyle \overrightarrow{AC}$ )^. $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ( $\displaystyle \overrightarrow{BC}$ + $\displaystyle \overrightarrow{BA}$ ) = 0 $\displaystyle \Rightarrow$ ( $\displaystyle \overrightarrow{c}$ - $\displaystyle \overrightarrow{b}$ )( $\displaystyle \overrightarrow{a}$ - $\displaystyle \overrightarrow{c}$ ) = 0 $\displaystyle \Rightarrow$

$\displaystyle \Rightarrow$ $\displaystyle \overrightarrow{a}$ ^. $\displaystyle \overrightarrow{c}$ - $\displaystyle \overrightarrow{a}$ ^. $\displaystyle \overrightarrow{b}$ - c² + $\displaystyle \overrightarrow{b}$ $\displaystyle \overrightarrow{c}$ = 0 $\displaystyle \Rightarrow$ $\displaystyle \overrightarrow{c}$ ( $\displaystyle \overrightarrow{a}$ + $\displaystyle \overrightarrow{b}$ ) - c² - $\displaystyle \overrightarrow{a}$ ^. $\displaystyle \overrightarrow{b}$ = 0 $\displaystyle \Rightarrow$

$\displaystyle \Rightarrow$ - c² - c² - $\displaystyle \overrightarrow{a}$ ^. $\displaystyle \overrightarrow{b}$ = 0 $\displaystyle \Rightarrow$ - 2c² - $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ (c² - a² - b²) = 0 $\displaystyle \Rightarrow$ a² + b² = 5c².

Условие

Подсказка

Решение