Скрыть решение
Подсказка
Медианы треугольника делятся точкой пересечения в отношении
2 : 1, считая от вершины.
Решение
Пусть медианы AM и BN треугольника ABC со сторонами AB = c,
AC = b и BC = a взаимно перпендикулярны и пересекаются в точке P.
Обозначим PM = x, PN = y. Тогда по теореме медианах AP = 2x, BP = 2y. Применив теорему Пифагора к прямоугольным треугольникам APN и
BPM, получим, что
4
x2 +
y2 =

,
x2 + 4
y2 =

.
Поэтому
5
x2 + 5
y2 =

,
x2 +
y2 =

.
Из прямоугольного треугольника
APB, находим, что
c2 =
AB2 = 4
x2 + 4
y2 =

,
откуда
a2 +
b2 = 5
c2.
Второй способ.
Пусть AM, BN и CK — медианы треугольника ABC со сторонами AB = c,
AC = b и BC = a. Обозначим
Тогда
Поскольку
AM
BN, то скалярное произведение векторов

и

равно 0, т.е.
. 
= 0.
Следовательно,

(

+

)
. 
(

+

) = 0

(

-

)(

-

) = 0

-
c2 -
c2 -
. 
= 0

- 2
c2 -

(
c2 -
a2 -
b2) = 0
a2 +
b2 = 5
c2.