Задача No. 54030

Рассмотрим равнобедренные треугольники с одними и теми же боковыми сторонами. Докажите, что чем больше угол при вершине, тем меньше высота, опущенная на основание.

Скрыть решение

Подсказка

Пусть ABC и A₁B₁C₁ — равнобедренные треугольники с основаниями BC и B₁C₁, причём AB = AC = A₁B₁ = A₁C₁ и $\angle$ A > $\angle$ A₁, а AD и A₁D₁ — их высоты. Отложите от луча AC в полуплоскости, содержащей точку B, луч AB₂ под углом, равным углу B₁A₁C₁, к лучу AC.

Решение

Первый способ.

Пусть ABC и A₁B₁C₁ - равнобедренные треугольники с основаниями BC и B₁C₁, причём

AB = AC = A₁B₁ = A₁C₁ и $\displaystyle \angle$ A > $\displaystyle \angle$ A₁,

а AD и A₁D₁ — их высоты.

Отложим от луча AC в полуплоскости, содержащей точку B, луч AB₂ под углом, равным углу B₁A₁C₁, к лучу AC. Тогда точка K пересечения луча AB₂ с прямой BC лежит на отрезке BC. Будем считать, что AB₂ = A₁B₁ = AB.

Поскольку AK < AB = A₁B₁, то точка K лежит на отрезке AB₂, значит, точки B₂ и A лежат по разные стороны от прямой BC. Тогда, если AD₂ — высота треугольника AB₂C, то точки A и D₂ также лежат по разные стороны от прямой BC, поэтому AD₂ пересекает отрезок BC в некоторой точке M. Следовательно, A₁D₁ = AD₂ > AM > AD.

Второй способ.

Пусть ABC и A₁B₁C₁ — равнобедренные треугольники с основаниями BC и B₁C₁, причём

AB = AC = A₁B₁ = A₁C₁ и $\displaystyle \angle$ A > $\displaystyle \angle$ A₁.

На продолжениях высот AD и A₁D₁ соответственно за точки D и D₁ отложим отрезки AM = AD и A₁M₁ = A₁D₁. Тогда

CM = AB = AC, C₁M₁ = A₁B₁ = A₁C₁,

$\displaystyle \angle$ ACM = 2 $\displaystyle \angle$ ACD = 2 $\displaystyle \left(\vphantom{90^{\circ} - \frac{1}{2} \angle BAC}\right.$ 90^o - $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ $\displaystyle \angle$ BAC $\displaystyle \left.\vphantom{90^{\circ} - \frac{1}{2} \angle BAC}\right)$ = 180^o - $\displaystyle \angle$ BAC,

$\displaystyle \angle$ A₁C₁M₁ = 2 $\displaystyle \angle$ A₁C₁D₁ = 2 $\displaystyle \left(\vphantom{90^{\circ} - \frac{1}{2} \angle B_{1}A_{1}C_{1}}\right.$ 90^o - $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ $\displaystyle \angle$ B₁A₁C₁ $\displaystyle \left.\vphantom{90^{\circ} - \frac{1}{2} \angle B_{1}A_{1}C_{1}}\right)$ = 180^o - $\displaystyle \angle$ B₁A₁C₁.

Поэтому в треугольниках ACM и A₁C₁M₁

AC = A₁C₁, CM = C₁M₁, $\displaystyle \angle$ ACM < $\displaystyle \angle$ A₁C₁M₁,

значит, AM < A₁M₁. Следовательно, AD < A₁D₁.

Условие

Подсказка

Решение

Ответ