Урок 3.17 Метод областей

Пример 2

Решить при всех значениях a неравенство .

Решение

Будем решать задачу методом областей. На координатной плоскости Oxa отметим множество всех точек (x; a), в которых выполняется неравенство . Для этого проведем прямые, на которых выражения из числителя и знаменателя обращаются в нуль. Выражение
x + 2a принимает нулевые значения на прямой . Проведем ее в виде сплошной линии на координатной плоскости. В виде пунктирной линии изобразим прямую a = x + 3, на которой знаменатель x + 3 – a обращается в нуль.
В итоге, координатная плоскость разбивается на четыре части. Пронумеруем каждую из этих частей.
Отметим знаки выражения внутри каждой из частей.
В точке x = 1, a = 0 имеем , значит в области (1) – знак плюс.
В области (2) – знак минус, так как при x = 0, a = 4 получим .
В области (3) – знак плюс, так как при x = –4, a = 0 находим .
В области (4) – знак минус, так как при x = 0, a = –1 имеем .
Следовательно, число x удовлетворяет неравенству при заданном значении a, если точка (x; a) лежит внутри областей (1), (3) или на прямой, отмеченной сплошной линией, за исключением точки пересечения с пунктирной линией.
Найдем точку пересечения прямых и a = x + 3. Подставляя вместо a во второе уравнение выражение из правой части первого уравнения, получим , или x = –2 и a = 1. Отметим на оси Oa точку a = 1.
Разберем три случая:

Случай 1 a < 1

 

Случай 2 a = 1

 

Случай 3 a > 1

 

Ответ

 

ИИСС "Алгебраические задачи с параметрами"