Задача No. 53878

Биссектрисы AM и BN треугольника ABC пересекаются в точке O. Известно, что AO = $\sqrt{3}$ MO, NO = ( $\sqrt{3}$ - 1)BO. Найдите углы треугольника ABC.

Скрыть решение

Подсказка

${\frac{AN}{AB}}$ = ${\frac{NO}{BO}}$ .

Решение

Обозначим AB = a. По свойству биссектрисы треугольника ${\frac{AB}{AN}}$ = ${\frac{BO}{NO}}$ . Поэтому AN = a( $\sqrt{3}$ - 1). Аналогично BM = ${\frac{a}{\sqrt{3}}}$ .

Если CM = c и CN = b то

$\displaystyle \left\{\vphantom{ \begin{array}{lll} \frac{a}{\sqrt{3}} + c = \frac{b}{\sqrt{3} - 1}\\ c\sqrt{3} = a(\sqrt{3} - 1) + b.\\ \end{array} }\right.$ $\displaystyle \begin{array}{lll} \frac{a}{\sqrt{3}} + c = \frac{b}{\sqrt{3} - 1}\\ c\sqrt{3} = a(\sqrt{3} - 1) + b.\\ \end{array}$

Умножим обе части первого уравнения на $\sqrt{3}$ - 1 и вычтем из него почленно второе. Получим, что c = ${\frac{2a}{\sqrt{3}}}$ . Тогда

BC = a $\displaystyle \sqrt{3}$ , AC = $\displaystyle {\frac{CM\cdot AB}{MB}}$ = 2a.

Поскольку AC² = AB² + BC², то треугольник ABC — прямоугольный,

$\displaystyle \angle$ B = 90^o, $\displaystyle \angle$ C = 30^o, $\displaystyle \angle$ A = 60^o.

Ответ

60^o, 90^o, 30^o.

Условие

Подсказка

Решение

Ответ