Скрыть решение
Подсказка
Треугольник MCD подобен треугольнику MBA с коэффициентом
.
Решение
Поскольку
то треугольник
MCD подобен треугольнику
MBA по двум углам.
Площадь круга, вписанного в треугольник
MCD, в четыре раза меньше площади
круга, вписанного в треугольник
MCD, поэтому радиус первого круга вдвое
меньше радиуса второго. Следовательно, коэффициент подобия треугольников
MCD и
MBA равен

. Значит,
а т.к. угол
CMB — острый (точка
M расположена вне данного круга), то
AMB =
CMB = 60
o.
Угол при вершине M треугольника AMB не может быть вдвое меньше угла A
или B, т.к. в противном случае один из углов A или B равен
120o,
что невозможно. Если же угол M вдвое больше угла A, то угол B равен
90o, что также невозможно (в этом случае прямая MB касается
данной окружности). Аналогично докажем, что угол M не может быть
вдвое меньше угла B.
Таким образом, либо угол A вдвое больше угла B, либо наоборот.
В каждом из этих случаев один из углов равен
40o, а второй
80o.
Ответ
60o,
40o,
80o.