Задача No. 53706

Точка M, лежащая вне круга с диаметром AB, соединена с точками A и B. Отрезки MA и MB пересекают окружность в точках C и D соответственно. Площадь круга, вписанного в треугольник AMB, в четыре раза больше, чем площадь круга, вписанного в треугольник CMD. Найдите углы треугольника AMB, если известно, что один из них в два раза больше другого.

Скрыть решение

Подсказка

Треугольник MCD подобен треугольнику MBA с коэффициентом ${\frac{1}{2}}$ .

Решение

Поскольку

$\displaystyle \angle$ MCD = 180^o - $\displaystyle \angle$ ACD = $\displaystyle \angle$ ABD,

то треугольник MCD подобен треугольнику MBA по двум углам. Площадь круга, вписанного в треугольник MCD, в четыре раза меньше площади круга, вписанного в треугольник MCD, поэтому радиус первого круга вдвое меньше радиуса второго. Следовательно, коэффициент подобия треугольников MCD и MBA равен ${\frac{1}{2}}$ . Значит,

cos $\displaystyle \angle$ CMB = $\displaystyle {\frac{MC}{MB}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ,

а т.к. угол CMB — острый (точка M расположена вне данного круга), то

$\displaystyle \angle$ AMB = $\displaystyle \angle$ CMB = 60^o.

Угол при вершине M треугольника AMB не может быть вдвое меньше угла A или B, т.к. в противном случае один из углов A или B равен 120^o, что невозможно. Если же угол M вдвое больше угла A, то угол B равен 90^o, что также невозможно (в этом случае прямая MB касается данной окружности). Аналогично докажем, что угол M не может быть вдвое меньше угла B.

Таким образом, либо угол A вдвое больше угла B, либо наоборот. В каждом из этих случаев один из углов равен 40^o, а второй 80^o.

Ответ

60^o, 40^o, 80^o.

Условие

Подсказка

Решение

Ответ