Задача No. 53691

Пусть R — радиус описанной окружности треугольника ABC, r_a — радиус вневписанной окружности этого треугольника, касающейся стороны BC. Докажите, что квадрат расстояния между центрами этих окружностей равен R² + 2Rr_a.

Скрыть решение

Подсказка

Пусть O и O_a — центры указанных окружностей, D — точка пересечения отрезка AO_a с описанной окружностью треугольника ABC. Докажите, что O_aD = BD и примените теорему о постоянстве произведения всей секущей на её внешнюю часть.

Решение

Пусть O и O_a — центры указанных окружностей, D — точка пересечения отрезка AO_a с описанной окружностью треугольника ABC. Докажем сначала, что O_aD = BD.

Обозначим углы A, B, C треугольника ABC через $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ соответственно. Поскольку луч BD — биссектриса внешнего угла B данного треугольника, то

$\displaystyle \angle$ CBO_a = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ (180^o - $\displaystyle \beta$ ) = 90^o - $\displaystyle {\frac{\beta}{2}}$ .

Тогда

$\displaystyle \angle$ DBO_a = $\displaystyle \angle$ CBO_a - $\displaystyle \angle$ CBD = $\displaystyle \angle$ CBO_a - $\displaystyle \angle$ CAD = 90^o - $\displaystyle {\frac{\beta}{2}}$ - $\displaystyle {\frac{\alpha}{2}}$ = $\displaystyle {\frac{\gamma}{2}}$ .

С другой стороны, ADB — внешний угол треугольника BDO_a и $\angle$ ADB = $\angle$ ACB = $\gamma$ , поэтому

$\displaystyle \angle$ BO_aD = $\displaystyle \angle$ ADB - $\displaystyle \angle$ DBO_a = $\displaystyle \gamma$ - $\displaystyle {\frac{\gamma}{2}}$ = $\displaystyle {\frac{\gamma}{2}}$ = $\displaystyle \angle$ DBO_a.

Значит, треугольник BDO_a — равнобедренный, O_aD = BD.

Пусть вневписанная окружность касается продолжения стороны AB в точке K, а прямая O_aO пересекает описанную окружность в точках M и N (M между O_a и N). Поскольку произведение всей секущей на её внешнюю часть для данной точки и данной окружности постоянно, то

OO²_a - R² = (OO_a + R)(OO_a - R) = (OO_a + ON)(OO_a - OM) =

= O_aN^.O_aM = O_aA^.O_aD = O_aA^.BD =

= $\displaystyle {\frac{O_{a}K}{\sin \angle O_{a}AK}}$ ^.2R sin $\displaystyle \angle$ O_aAK = 2Rr_a.

Следовательно,

OO²_a = R² + 2Rr_a.

Условие

Подсказка

Решение