Докажите, что если стороны пятиугольника в порядке обхода
равны 4, 6, 8, 7 и 9, то его стороны не могут касаться одной
окружности.
Скрыть решение
Подсказка
Обозначьте через x один из искомых отрезков и выразите
последовательно через x отрезки, на которые точки касания делят
стороны пятиугольника.
Решение
Предположим, что все стороны данного пятиугольника ABCDE
(AB = 6, BC = 8, CD = 7, DE = 9, EA = 4) касаются некоторой
окружности. Обозначим касательные, выходящие из вершины A, через x.
"Обойдем" наш пятиугольник, выражая последовательно длины
касательных из вершин B (равны 6 - x), C (равны
8 - (6 - x) = 2 + x), D
(равны
7 - (2 + x) = 5 - x) и E (равны
9 - (5 - x) = 4 + x). Получим, что
сторона AE точкой касания делится на отрезки x и 4 + x, т.е. x = 0,
что невозможно.