Условие
Величины углов при вершинах A, B, C треугольника ABC составляют
арифметическую прогрессию с разностью
. Биссектрисы этого
треугольника пересекаются в точке D. Точки A1, B1, C1
находятся на продолжениях отрезков DA, DB, DC за точки A, B, C
соответственно, на одинаковом расстоянии от точки D. Докажите,
что величины углов A1, B1, C1 также образуют арифметическую
прогрессию. Найдите её разность.
Скрыть решение
Подсказка
Если биссектрисы углов B и C треугольника ABC пересекаются в точке D, то
BDC =
+ 
A.
Решение
Пусть
A =
— средний по величине угол треугольника ABC.
Тогда
C =

-

,
B =

+

,
B1DC1 =

+


,
DB1C1 =
DC1B1 =



-

-


,
A1DC1 =

+

+

,
DA1C1 =
DC1A1 =



-

-

-


,
A1DB1 =

+

-

,
DA1B1 =
DB1A1 =



-

-

+


,
B1 =
DB1A1 +
DB1C1 =

-

+

,
C1 =
DC1B1 +
DC1A1 =

-

-

.
Поэтому углы
C1,
A1,
B1 составляют арифметическую прогрессию
с разностью

.
Ответ
.