Задача No. 53388

Величины углов при вершинах A, B, C треугольника ABC составляют арифметическую прогрессию с разностью ${\frac{\pi}{7}}$ . Биссектрисы этого треугольника пересекаются в точке D. Точки A₁, B₁, C₁ находятся на продолжениях отрезков DA, DB, DC за точки A, B, C соответственно, на одинаковом расстоянии от точки D. Докажите, что величины углов A₁, B₁, C₁ также образуют арифметическую прогрессию. Найдите её разность.

Скрыть решение

Подсказка

Если биссектрисы углов B и C треугольника ABC пересекаются в точке D, то $\angle$ BDC = ${\frac{\pi}{2}}$ + ${\frac{1}{2}}$ $\angle$ A.

Решение

Пусть $\angle$ A = $\alpha$ — средний по величине угол треугольника ABC. Тогда

$\displaystyle \angle$ C = $\displaystyle \alpha$ - $\displaystyle {\frac{\pi}{7}}$ , $\displaystyle \angle$ B = $\displaystyle \alpha$ + $\displaystyle {\frac{\pi}{7}}$ , $\displaystyle \angle$ B₁DC₁ = $\displaystyle {\frac{\pi}{2}}$ + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ $\displaystyle \alpha$ , $\displaystyle \angle$ DB₁C₁ = $\displaystyle \angle$ DC₁B₁ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ $\displaystyle \left(\vphantom{\pi - \frac{\pi}{2} - \frac{\alpha}{2}}\right.$ $\displaystyle \pi$ - $\displaystyle {\frac{\pi}{2}}$ - $\displaystyle {\frac{\alpha}{2}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{\pi - \frac{\pi}{2} - \frac{\alpha}{2}}\right)$ ,

$\displaystyle \angle$ A₁DC₁ = $\displaystyle {\frac{\pi}{2}}$ + $\displaystyle {\frac{\alpha}{2}}$ + $\displaystyle {\frac{\pi}{14}}$ , $\displaystyle \angle$ DA₁C₁ = $\displaystyle \angle$ DC₁A₁ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ $\displaystyle \left(\vphantom{\pi - \frac{\pi}{2} - \frac{\alpha}{2} - \frac{\pi}{14}}\right.$ $\displaystyle \pi$ - $\displaystyle {\frac{\pi}{2}}$ - $\displaystyle {\frac{\alpha}{2}}$ - $\displaystyle {\frac{\pi}{14}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{\pi - \frac{\pi}{2} - \frac{\alpha}{2} - \frac{\pi}{14}}\right)$ ,

$\displaystyle \angle$ A₁DB₁ = $\displaystyle {\frac{\pi}{2}}$ + $\displaystyle {\frac{\alpha}{2}}$ - $\displaystyle {\frac{\pi}{14}}$ , $\displaystyle \angle$ DA₁B₁ = $\displaystyle \angle$ DB₁A₁ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ $\displaystyle \left(\vphantom{\pi - \frac{\pi}{2} - \frac{\alpha}{2} + \frac{\pi}{14}}\right.$ $\displaystyle \pi$ - $\displaystyle {\frac{\pi}{2}}$ - $\displaystyle {\frac{\alpha}{2}}$ + $\displaystyle {\frac{\pi}{14}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{\pi - \frac{\pi}{2} - \frac{\alpha}{2} + \frac{\pi}{14}}\right)$ ,

$\displaystyle \angle$ A₁ = $\displaystyle \angle$ DA₁C₁ + $\displaystyle \angle$ DA₁B₁ = $\displaystyle {\frac{\pi}{2}}$ - $\displaystyle {\frac{\alpha}{2}}$ ,

$\displaystyle \angle$ B₁ = $\displaystyle \angle$ DB₁A₁ + $\displaystyle \angle$ DB₁C₁ = $\displaystyle {\frac{\pi}{2}}$ - $\displaystyle {\frac{\alpha}{2}}$ + $\displaystyle {\frac{\pi}{28}}$ ,

$\displaystyle \angle$ C₁ = $\displaystyle \angle$ DC₁B₁ + $\displaystyle \angle$ DC₁A₁ = $\displaystyle {\frac{\pi}{2}}$ - $\displaystyle {\frac{\alpha}{2}}$ - $\displaystyle {\frac{\pi}{28}}$ .

Поэтому углы C₁, A₁, B₁ составляют арифметическую прогрессию с разностью ${\frac{\pi}{28}}$ .

Ответ

${\frac{\pi}{28}}$ .

Условие

Подсказка

Решение

Ответ