Задача No. 53360

В треугольнике ABC известны углы: $\angle$ A = 45^o, $\angle$ B = 15^o. На продолжении стороны AC за точку C взята точка M, причём CM = 2AC. Найдите $\angle$ AMB.

Скрыть решение

Подсказка

Отложите на отрезке CB отрезок CK, равный отрезку AC.

Решение

Пусть P — середина отрезка CM. Тогда AC = CP = PM. Отметим на стороне CB точку K так, чтобы CK = CA. По теореме о внешннем угле треугольника

$\displaystyle \angle$ PCK = $\displaystyle \angle$ CAB + $\displaystyle \angle$ ABC = 45^o + 15^o = 60^o.

Поэтому треугольник CPK — равносторонний. Значит, PC = PK = PM. Следовательно, треугольник CKM — прямоугольный и

$\displaystyle \angle$ AMK = 90^o - 60^o = 30^o.

Поскольку

$\displaystyle \angle$ CAK = $\displaystyle \angle$ CKA = 30^o,

то треугольник AKM — равнобедренный, а т.к.

$\displaystyle \angle$ KAB = $\displaystyle \angle$ KBA = 15^o,

то треугольник AKB — также равнобедренный. Следовательно, MK = AK = KB и треугольник MKB — равнобедренный.

Поскольку

$\displaystyle \angle$ MKB = $\displaystyle \angle$ MKC = 90^o,

то $\angle$ KMB = 45^o. Следовательно,

$\displaystyle \angle$ AMB = $\displaystyle \angle$ AMK + $\displaystyle \angle$ KMB = 30^o + 45^o = 75^o.

Ответ

75^o.

Условие

Подсказка

Решение

Ответ