Задача No. 53344

В выпуклом пятиугольнике ABCDE известно, что AE = AD, AC = AB и $\angle$ DAC = $\angle$ AEB + $\angle$ ABE. Докажите, что DC в два раза больше медианы AK треугольника ABE.

Скрыть решение

Подсказка

Отложите на продолжении медианы AK за точку K отрезок KF, равный AK, и докажите равенство треугольников ABF и CAD.

Решение

Отложим на продолжении медианы AK за точку K отрезок KF, равный AK. Из равенства треугольников BKF и EKA следует, что BF = AE = AD и $\angle$ KBF = $\angle$ KEA. Поэтому

$\displaystyle \angle$ ABF = $\displaystyle \angle$ ABK + $\displaystyle \angle$ KBF = $\displaystyle \angle$ DAC.

Кроме того, AB = AC (по условию). Поэтому треугольники ABF и CAD равны. Следовательно, CD = AF = 2AK.

Условие

Подсказка

Решение