Задача No. 52900

Найдите радиус окружности, описанной около равнобедренного треугольника с основанием 6 и боковой стороной 5.

Сторона треугольника равна диаметру описанной окружности, умноженному на синус противолежащего угла.

Первый способ.

Пусть $\alpha$ — угол при основании. Тогда

cos $\displaystyle \alpha$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{3}{5}}$ , sin $\displaystyle \alpha$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{4}{5}}$ .

Следовательно, радиус описанного круга равен

$\displaystyle {\frac{5}{2\sin \alpha}}$ = 8^. $\displaystyle {\textstyle\frac{5}{8}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{25}{8}}$ .

Второй способ.

Пусть O — центр окружности, описанной около треугольника ABC, AB = BC = 5, AC = 3. Если M — середина AC, то BM — высота треугольника и

BM² = 5² - 3² = 4².

Пусть K — середина BC. Тогда KB = ${\frac{5}{2}}$ , OK и OM — серединные перпендикуляры к сторонам треугольника.

Обозначим OB = OC = R. Тогда имеем уравнение

R² - 9 = (4 - R)².

Отсюда находим, что R = ${\frac{25}{8}}$ .

${\frac{25}{8}}$ .