---

Показать решение

---

Скрыть решение

Решение

Докажем сначала следующую лемму.

Лемма. Пусть ABC — произвольный треугольник, M — его точка пересечения медиан. Тогда

а) прямая, параллельная стороне треугольника и проходящая через точку M, разбивает его на треугольник и трапецию, отношение площадей которых равно 4:5;

б) любая другая прямая, проходящая через точку M, разбивает его на части, отношение площадей которых больше 4:5.

Пусть прямая l, параллельная стороне AB, пересекает сторону AC в точке D, а сторону BC — в точке E (см. рис. 26). Треугольники DEC и ABC подобны (по двум углам). Коэффициент k подобия равен , где |CC₁| — медиана треугольника ABC. Поскольку медианы в точке пересечения делятся в отношении 2:1, то k = ⅔. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициентов подобия. Поэтому , соответственно, . Утверждение а) леммы доказано.

Известно, что медиана делит треугольник на два треугольника равной площади. Действительно, у этих треугольников равные основания и общая высота. Поэтому если рассматриваемая прямая проходит через вершину треугольника, то отношение площадей частей, на которые она делит треугольник, равно 1, и утверждение б) в этом случае справедливо.

Проведем теперь через точку M прямую FG, находящуюся в «промежуточном положении" между прямой DE, параллельной стороне AB, и прямой AA₁, содержащей медиану треугольника (рис. 26). Докажем, что

Для этого проведем через точку D прямую, параллельную BC. Ее точки пересечения с прямыми FG и AA₁ обозначим K и L соответственно. Отрезок DE делится точкой M пополам. Действительно, треугольник DEC гомотетичен треугольнику ABC с центром гомотетии в точке C. Так как CC₁ — медиана треугольника ABC, то CM — медиана треугольника DEC (рис. 27). Поэтому треугольники DKM и EGM равны (по стороне и двум углам). Значит, S_FDM > S_KDM = S_EGM. Отсюда получаем

Аналогично, треугольники KLM и GA₁M равны. Поэтому

и

Объединяя (**) и (***), получаем (*).

Рассмотренный случай расположения прямой, делящей треугольник, является общим. Лемма доказана.

Перейдем теперь непосредственно к задаче о разрезании торта. Из доказанной леммы следует, что если брат укажет на торте точку пересечения медиан, то тем самым добьется, что сестра получит не более торта.

Докажем теперь, что независимо от того, какую точку он укажет на торте, она сможет отрезать себе не менее торта. Проведем для этого через точку O, указанную братом, три прямые, параллельные сторонам треугольника (рис. 28). Каждая из них разбивает треугольник на треугольник и трапецию. Три полученные трапеции целиком покрывают исходный торт-треугольник. Поэтому по крайней мере одна из них содержит его точку пересечения медиан. Из леммы легко вывести, что площадь этой трапеции не меньше площади всего торта. Эту трапецию она и должна отрезать для себя.