Тема урока: «Прогрессии»

План урока дан для сильного, думающего, увлеченного математикой класса, обучающегося в обычной школе. Изучение арифметической и геометрической прогрессий проводится параллельно.

Эпиграф к уроку: "Сравнение есть основа всякого понимания и всякого мышления, чтобы какой-нибудь предмет был понят ясно, отличайте его от самых сходных с ним предметов и находите сходство с самыми отдельными от него предметами, тогда только вы выясните себе все существенные признаки, а это значит – понять предмет" (К.Д. Ушинский).

«Сравнение – сопоставление объектов с целью выявления черт сходства и черт различия между ними. Суждения, выражающие результат сравнения, служат цели раскрытия содержания понятий сравниваемых объектов" (Философский словарь).

Цели урока:

1. Образовательные: продолжить работу над определениями  арифметической, геометрической прогрессий; формулами n-го члена, суммы n первых членов, суммы бесконечной геометрической прогрессии при |q| < 1; характеристическими свойствами, которым обладают члены прогрессий; выработать общие рекомендации по выполнению заданий, содержащих данные прогрессии.

2. Развивающие: продолжить дальнейшую работу по выработке умения сравнивать математические понятия, находить сходства и различия, умения наблюдать, подмечать закономерности, проводить рассуждения по аналогии; сформировать умение строить и интерпретировать математическую модель некоторой реальной ситуации.

3. Воспитательные: содействовать воспитанию интереса к математике и ее приложениям, активности, умению общаться, аргументированно отстаивать свои взгляды.

Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний.

Форма проведения урока: индивидуальное выполнение учебных заданий; фронтальная проверка, коррекция и формулировка выводов, составляющих новый материал. Дополнительный материал к уроку

 

Структура урока:

I.                         Подготовительный этап (мотивация изучения нового, выявление целей урока и ориентация учащихся в учебной деятельности на уроке).

II.                      Актуализация знаний, умений и навыков.

III.                   Отработка знаний, умений и навыков по теме.

IV.                  Самостоятельная работа.

V.                      Сравнение и решение задач практического направления.

VI.                  Применение свойств прогрессий к решению уравнений.

VII.               Подведение итогов урока и домашнее задание.

 

Ход урока:

 

I     Подготовительный этап  

Тему сегодняшнего урока мы узнаем, разгадав кроссворд:

                            

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.     Как называется график квадратичной функции?

2.     Математическое предложение, справедливость которого доказывается.

3.     Упорядоченная пара чисел, задающая положение точки на плоскости.

4.     Наука, возникшая в глубокой древности в Вавилоне и Египте, а учащиеся  России начинают её изучать с 7 класса.

5.     Линия на плоскости, задаваемая уравнением  Y=кх+b.

6.     Числовой промежуток.

7.     Предложение, принимаемое без доказательства.

8.     Прямая, к которой неограниченно приближаются точки кривой при удалении в бесконечность.

9.     Название второй координаты на плоскости.

10. Французский математик 19 века, «отец» алгебры, юрист, разгадал шифр, применяемый испанцами в войне с французами, а нам помог в быстром решении квадратных уравнений. 

Итак, тема урока «Прогрессии».  Прогрессия – латинское слово, означающее "движение вперед", было введено римским автором Боэцием (VI век) и понималось в более широком смысле как бесконечная числовая последовательность.

- А почему во множественном числе? Какие знаете прогрессии? Дайте определение.

Сегодня на уроке мы подведем итог по теме «Прогрессии», решая задачи, определить, к какому виду прогрессии они относятся и какие свойства надо применить.

II.Актуализация знаний 

1)

- Но прежде проверим знания по теме. Заполнить таблицу (за отворотом доски, потом проверить)

 

 

Арифметическая

прогрессия   ( ¸)

Геометрическая

Прогрессия  (  )

Определение

 

 

 

Формула n-го члена

 

 

 

Характеристическое свойство

 

 

Формула суммы n членов

 

 

 

 

2) Остальные учащиеся   устно выполняют задания:

Каждой из предложенных последовательностей дать характеристику (задание на узнавание последовательности)

(an):  an=5n                            арифмет.прогрессия

(bn):  bn=1;    bn+1=5bn               геометр.прогрессия

n):  с1=1;     cn+1=cn  -5            арифмет.прогрессия

(dn):  1;2;4;8;…                       геометр.прогрессия

(xn):  1;4;9;16;…                     числовая последовательность

(yn):  1;-2;4;-8;…                     геометр.прогрессия

(zn):  zn=10·3n-1                        геометр.прогрессия

 

3) Это ошибочное мнение. График прогрессии это множество точек плоскости  на множестве натуральных чисел

 

 

 

 

  

Появление верных графиков.

 

4)

 1. Дана геометрическая прогрессия  (bn):  b1 = 25, q = .Не решая задачи, выяснить: может ли среди членов этой прогрессии находиться число 50?

   2.Дана арифметическая прогрессия:   1, 4, 7, 10, 13, ... .Не решая задачи, выяснить: может ли на сотом месте стоять число 297. Сделайте вывод.

 

5)  Проверить таблицу.

 

III. Отработка знаний, умений и навыков

1)Петя, довольный, пришел из школы и предложил папе

 заключить сделку: в учебном году 34 недели; за 1 неделю Петя получит

1 копейку, за вторую - 2 копейки, за третью - 4 копейки и т.д.

Как вы думаете, в каком классе учится Петя, и что нового он узнал

в школе?

Петя в 9 классе,  на уроке алгебры была тема «Сумма членов геометрической прогрессии», и на уроке рассматривалась задача:

Индийский царь Шерам призвал к себе изобретателя шахмат, ученого Сету, и предложил, чтобы он сам выбрал себе награду за создание интересной и мудрой игры. Царя изумила скромность просьбы, услышанной им от изобретателя: тот попросил выдать ему за первую клетку шахматной доски одно пшеничное зерно, за вторую - два, за третью - еще в два раза больше и т.д. Сколько зерен должен получить изобретатель шахмат?"

2 64-1

18 446 744 073 709 551 615

Масса такого числа зерен больше триллиона тонн.

Это заведомо превосходит количество пшеницы, собранной  человечеством  до настоящего времени.

Петя должен получить   234-1 или    171798691,83 руб.

 

1в. 1

2в.1

1в.2

2в2

 

 

 

 

IV Самостоятельная работа

Выполнить задание, выбрать соответствующую букву и заполнить таблицу:

Первый получает приз.

I вариант:                                                                              2 вариант:

 

1.Дано: (аn) арифметическая               1.  Дано: (аn) арифметическая прогрессия                         прогрессия

        а1=20,     d=4.                                                     а1=1,7,     d=-0,2.       

Найти:  а5                             (36)                                                         Найти:  а8         (0.3)

 

2.  Дано: (bn) геометрическая           2. Дано: (bn) геометрическая  прогрессия прогрессия              

      b2= 8;        b3= -32                                                     b2= -8;        b3= 32

Найти: S4                  (102)                                   Найти: S4      (-102)

 

Выбрать буквы, соответствующие ответу:

102

3.5

36

0,3

33

-2.5

-102

0.7

С

Г

Х

А

О

М

И

Ф

1в. 1

2в.1

1в.2

2в2

Х

А

С

И

 

 

 

 

В Японии палочки для еды называются хаси. Одной  из традиций является вручение палочек детям на 100 с момента рождения день, т.к. считается, что использование их для еды детьми влияет на интеллектуальное развитие. Первым вручить приз – хаси.

 

V. Сравнение и решение задач практического направления

3) Задачи 1 и 2  обсудить, выяснив алгоритм решения и свойства прогрессий, которые надо применить:

Задача 1.

При хранении бревен строевого леса их укладывают так, как показано на рисунке. Сколько бревен находится в одной кладке, если в ее основании положено 12 бревен?

 

 

 

                                                                                                                                                                                                                   

 

Задача 2.

Рабочий выложил плитку следующим образом: в первом ряду - 3 плитки, во втором - 5 плиток и т.д., увеличивая каждый ряд на 2 плитки. Сколько плиток понадобится для 7 ряда?

 

 

 

 

Решение выполняется у доски.

Задача 3.  Отдыхающий, следуя совету врача, загорал  в первый день 5 мин., а в каждый последующий день увеличивал время пребывания на солнце на 5 мин. В какой день недели время его пребывания на солнце будет равно 40 мин., если он начал загорать в среду?

Решение:

а1=5, d=5, аn=40  Þ   n=8.  Т.е. на восьмой день, т.е. опять в среду.

 

Задача 510 (задачник по алгебре для 9 класса под редакцией А.Г. Мордковича). Клиент взял в банке кредит в размере 50 000 рублей на 5 лет под 20% годовых.  Какую сумму клиент должен вернуть банку в конце срока?

Решение:

 

b1=50000, q=1,2    Найти  b6 .                   b6=  b1*q5 =124416 рублей.

 

Задача 472 (задачник по алгебре для 9 класса под редакцией А.Г. Мордковича). За изготовление и установку самого нижнего железобетонного кольца колодца заплатили 26 у.е., а за каждое следующее кольцо платили на 2 у.е. меньше, чем за предыдущее. Кроме того, в конце работы заплатили еще 40 у.е. Сколько колец в колодце, если потом выяснили, что средняя стоимость одного кольца оказалась 22 у.е?

Решение:

а1=26  d= -2,  аn=28-2n,     Sn=27n-n2,      ,        9n2-41n-360=0,        n=9 (nÎN)

Ответ: 9 колец.

Задача 526  (задачник по алгебре для 9 класса под редакцией А.Г. Мордковича.

  Два приятеля положили в банк по 10 000 рублей каждый, причем первый положил деньги на вклад с ежеквартальным начислением 10%, а второй  - с ежегодным начислением 45%. Через год приятели получили деньги вместе с причитающимися им процентами. Кто получил большую прибыль?

Решение: вклад изменяется в одно и тоже число т.е. геометрическая прогрессия:

1 приятель                                                                            2 приятель

b1=10 000                                                                               b1=10 000

4 квартала, т.е. найти b5                                                                                   в конце года, т.е. найти b2

q=1,1                                                                         q=1,45

b5=14 641 рубль,                                                                    b2=  14 500

 

 Ответ: первый больше.

 

VI. Применение свойств прогрессий к решению уравнений

Прочти задачу.

    Вычислить:  2 + 4 + 8 + 16 + ... + 256 + 512.

    Расставь этапы решения задачи в правильном порядке:

 

             1. найти номер последнего члена прогрессии;

             2. найти знаменатель или разность прогрессии;

             3. вычислить искомую сумму;

             4. определить вид прогрессии.

                                          1. определить вид прогрессии.

                                          2. найти знаменатель или разность прогрессии;

                                          3. найти номер последнего члена прогрессии;

                                          4. вычислить искомую сумму;

S9=2*(29 – 1)=2*511=1022

 

Решить уравнение:

1) (x2 + x + 1) + (x2 + 2x + 3) + (x2 + 3x + 5) + . . . + (x2 + 20x + 39) = 4500

Каждое слагаемое отличается на (х+2), следовательно, арифметическая прогрессия, где а1= x2 + x + 1

an= x2 + 20x + 39 ,     an= а1+(x+2)(n-1),       n=20,                   

(x2 + x + 1+ x2 + 20x + 39)*20:2=4500

 

(2x2 +21 x + 40)10=4500,

2x2 +21 x + 40=450,

2x2 +21 x – 410 =0,

Ответ:   10; - 20,5                                             x=10,     x=-20,5

 

 

Решить уравнение:

2)  + x + x2 + x3  + . . .  = ,  x < 1.

          +1+ x + x2 + x3  + . . .  = 1+3,5   , 

Бесконечная убывающая прогрессия с q=x, q<1, тогда  S=, т.е.    =4,5 и т.д.

Ответ:, .

 

 

VII. Подведение итогов и домашнее задание

 

Решить уравнение:

 

1).    (обсудить характеристическое свойство ариф.прогрессии).

2). 2x + 1 + x2 - x3 + x4 - x5 + . . . =  , x < 1  (обсудить преобразование левой части и её вид).

3) № 521, 522  (задачник по алгебре для 9 класса под редакцией А.Г. Мордковича.