Задача по физике N1792

Фотоаппарат, имеющий объектив с фокусным расстоянием

, установлен так, чтобы получить наиболее резкое изображение предмета, находящегося от него на расстоянии

. Найти глубину резкости, т.е. расстояния, на которые можно сместить предмет вдоль оси объектива от указанного положения без потери резкости изображения, если радиус светового пучка, проходящего через объектив, не превышает

, а изображение можно считать резким, если диаметр изображения точки на фотопленке не превышает

Скрыть решение

Решение

./1792/resh_1792

По условию задачи при определенном расстоянии между объективом фотоаппарата и предметом изображение последнего получается наиболее резким. Это означает, что все лучи, исходящие из какой-либо точки предмета, после преломления в объективе сходятся в одной точке, лежащей на поверхности фотопленки. Другими словами, при таком расположении предмета его изображение является стигматичным и, следовательно, можно говорить, что справедливы правила построения изображений в так называемом параксиальном приближении. Если, как обычно, считать объектив фотоаппарата тонкой линзой, то в указанном приближении расстояния от предмета до линзы и от линзы до предмета должны удовлетворять соотношению , называемому формулой тонкой линзы. На верхней половине рисунка показан ход луча, идущего под наибольшим углом к главной оптической оси объектива от точки предмета, совпадающей с этой осью. На нижней половине — ход другого крайнего луча от той же точки предмета, но после его отодвигания на расстояние вдоль главной оптической оси от первоначального положения. При этом положение точки , в которой этот луч пересекает главную оптическую ось линзы, было найдено с помощью формулы тонкой линзы. Из рисунка ясно, что при новом положении предмета все другие лучи, выходящие из указанной точки предмета, могут падать на фотопленку только в пределах кружка диаметром .

Из подобия прямоугольных треугольников и следует, что . Поскольку , то, выразив расстояния и с помощью формулы тонкой линзы через заданное фокусное расстояние , расстояние и смещение , из двух последних уравнений получим:

$\begin{displaymath} \Delta x_ + = \mathchoice{\displaystyle\frac{(a - F) a \phi... ...\phi }{(2 r + \phi ) F - a\phi }} \approx 1{,}62~{\rm { м}}. \end{displaymath}$

Проводя аналогичные рассуждения, можно доказать, что диаметр изображения точки предмета не будет превышать заданной величины , если предмет приблизить к объективу на расстояние

$\begin{displaymath} \Delta x_ - = \mathchoice{\displaystyle\frac{(a - F) a \phi... ...\phi }{(2 r - \phi ) F + a\phi }} \approx 0{,}98~{\rm { м}}. \end{displaymath}$

Искомая глубина резкости равна

Ответ

Искомая глубина резкости равна