Уроки 27-28. Сколько всего областей

Урок 27


План урока


Работа с бумажным учебником (20–25 мин)
1. Знакомство с листом определений «Сколько всего областей».
2. Решение обязательных задач 153, 154, 156.
Решение необязательной задачи бумажного учебника
3. Решение задачи 155.

Работа с электронным учебником (15–20 мин)
4. Решение задач 79–83.


Знакомство с листом определений «Сколько всего областей»


Топология


Математику часто определяли как науку о числах и фигурах. В современной математике роль чисел существенно меньше, как и роль фигур в их классическом понимании. Эти изменения находят отражение в нашем курсе: в нем, в частности, появляются начала топологии – важной и интересной области современной математики. Особое значение топология приобретает в связи с развитием информатики, начиная с проблем топологии интегральных схем и кончая задачами распознавания изображений компьютером.


Чтобы пояснить, чем занимается топология, можно сказать, что она изучает свойства фигур в пространстве, которые сохраняются при непрерывных преобразованиях этого пространства. Но это лишь приблизительное описание, в частности, потому, что математическое понимание пространства тоже не совпадает с нашим обычным пониманием и требует особого пояснения. Сделаем это на следующем примере.


Давайте выберем в качестве пространства воздушный шар, только абстрактный, математический: его можно как угодно растягивать, сжимать, деформировать без всякого сохранения размеров, но не прорывать. Нарисуем на шаре какую-нибудь кривую, опять-таки «абстрактным», математическим пером: у этой кривой нет никакой толщины. Может случиться, что она разобьет шар на две области так, что в каждой из этих областей можно будет перейти от одной произвольной точки к любой другой, не пересекая нашу кривую.


Вот пример такой кривой на шаре:


А вот примеры кривых на шаре, для которых рассматриваемое нами свойство не выполнено:


Итак, мы описали свойство кривой на шаре. (Точнее, как сказали бы математики, на сфере, потому что для математиков шар – это заполненная сфера.)


Вполне похоже, что обсуждаемое нами свойство является топологическим. Это значит, что если кривая разбивала сферу на две области, и мы сферу как-то деформировали, то деформированная кривая будет опять разбивать деформированную сферу на две области.


И действительно, если соответствующим (и естественным) образом определить все используемые математические понятия, то получится математическое определение топологического свойства, отвечающее нашим интуитивным представлениям.


Многие понятия топологии, обладая формальными математическими определениями, имеют весьма ясное интуитивное содержание. Более того, это содержание иногда относится к базовым понятиям, описывающим окружающий нас мир. Поэтому некоторые из этих понятий довольно часто появляются в курсах разных авторов – в учебниках и рабочих тетрадях для первого класса. Для нас задачи, включающие такой материал, являются частью начал образования, и заложенные в них идеи получают развитие на протяжении всего курса.


Кстати, приведем пример свойства, не являющегося топологическим: «Кривая ограничивает область, имеющую площадь 4 см 2».


Число областей


Мы указали выше, что топология занимается фигурами и их свойствами, а не числами. Однако числа часто участвуют в определении тех или иных топологических свойств. Свойство, которое мы сейчас рассматриваем, тоже связано с числами. Это свойство – число областей в картинке. С самого начала при подсчете числа областей мы вводим цвет. На первый взгляд вам может показаться, что для подсчета числа областей вовсе не обязательно раскрашивать картинку. Но не спешите – так обстоит дело только в простейших случаях.


Как вы видите, при подсчете числа областей мы используем числовую линейку. Клетки линейки при этом раскрашены – мы так же раскрашиваем области картинки. При раскрашивании областей картинки (и клеток числовой линейки) мы используем все наши «рабочие» цвета, кроме черного. Черный цвет мы не используем из практических соображений – чтобы на клетках числовой линейки были виды все числа (черные), а на картинке – все черные внутренние линии. Цвета на числовой линейке повторяются. Это не должно вызывать ошибок, если раскрашивание областей идет последовательно и аккуратно. При подсчете областей можно было бы обойтись даже одним цветом. Наличие нескольких цветов просто уменьшает возможные ошибки и позволяет допущенную ошибку исправить.


Итак, на листе определений описывается довольно несложное чередование действий: пометка клетки числовой линейки – раскраска очередной области соответствующим цветом и т. д. Однако словесное описание этого несложного процесса ребенку порой понять нелегко. И дело не в том, что авторы не могут понятно описать простую вещь или специально хотят запутать непосвященных – проблема здесь в объективной ситуации: точные словесные описания весьма простых действий иногда оказываются сложными, и проще объяснить их на конкретном примере, как мы часто и делаем в нашем курсе. Однако иногда другого способа, отличного от письменной коммуникации, нет. Поэтому наши дети должны уметь писать и понимать написанное. Описания имеют такие преимущества, как однозначность толкования и неизменность во времени (а что-то показанное или рассказанное можно забыть или воспроизвести неточно).


Создание описания (программ) деятельности для компьютера называется программированием.


Решение обязательных бумажных задач


Итак, мы, как и раньше, начинаем решать задачи «на данное определение». Мы постоянно сталкиваемся в классе с разным уровнем подготовленности учащихся к решению той или иной задачи. Естественная и продуктивная идея – работать с каждым учащимся в его «зоне ближайшего развития». Это означает, что, если у учащегося есть шанс самостоятельно разобраться в определении и решить задачу, нужно использовать эту возможность. Если необходимо помочь ребенку решить задачу, делайте это, по возможности не подталкивая ребенка, а ожидая действий от него самого. Помните, в частности, что наша цель не только в том, чтобы учащийся решил конкретную задачу, но и в том, чтобы он научился разбираться в письменных определениях.


Задача 153. Картинка в данной задаче несложная. Вы (и возможно кто-то из детей) без всякой числовой линейки сосчитаете, сколько в ней областей. Но мы специально начинаем с простых задач, чтобы на их примере дети отработали алгоритм, описанный на листе определений. В противном случае дети, которые не усвоили общий алгоритм, со временем перестанут справляться с усложняющимся уровнем задач. Поэтому обязательно проследите за тем, чтобы все дети следовали описанной нами последовательности действий. Сначала ребенок ставит галочку около первой клетки числовой линейки. Эта клетка синяя, значит любую область картинки находим и раскрашиваем синим. Теперь ставим галочку около следующей (второй) клетки числовой линейки. Эта клетка красная, значит любую нераскрашенную область надо раскрасить красным. Ставим галочку около следующей клетки числовой линейки. Она желтая, значит еще одну нераскрашенную область картинки надо раскрасить желтым. После этого видим, что вся картинка оказалась раскрашенной, значит уже можно ответить на вопрос задачи. Последняя клетка числовой линейки, помеченная галочкой - клетка с числом 3, значит в этой картинке 3 области.


Кто-то из детей, возможно, спросит вас, что делать с глазами снеговика. Наиболее естественный ответ – не считать их областями, ведь на листе определений «Области» мы сразу договорились черный цвет не считать. Это одна из причин, почему мы ни в одном задании не предлагали (и в дальнейшем не будем) раскрашивать области картинки черным.


Задача 154. Как и в предыдущей задаче, области картинки здесь хорошо выделяются, но их гораздо больше. Без алгоритма подсчета областей в этой задаче уже можно и запутаться. Решение задач на подсчет областей картинки требует довольно большого времени. Поэтому мы и даем на этом уроке сравнительно немного задач. В любом случае не стоит торопить ребят. На этом уроке важнее всего усвоить алгоритм, а не как-то посчитать число областей. Поэтому для медлительного ребенка лучше полностью решить (по алгоритму) одну задачу, чем кое-как решить три.
В этой картинке 8 областей.


Задача 156. Задача на повторение листов определений: «Бусины в цепочке», «Одинаковые бусины, разные бусины». Здесь детям тоже потребуется дополнительное время, но не для технического выполнения решения (как в предыдущих задачах), а для анализа условия задачи. В этой задаче необходимо достроить (раскрасить) объект по описанию. Внимательно читая описание, мы выделяем в нем два условия: вторая и четвертая бусины цепочки должны быть разными; все круглые бусины цепочки должны быть одинаковыми. В силу первого условия, две квадратные бусины нужно раскрасить в разные цвета, а три круглые бусины – в одинаковые.


Решение необязательной бумажной задачи


Задача 155.
Сложность этой задачи в выделении областей фона (их в данном случае три). После решения электронной задачи 79 до этого догадаться уже не сложно, кроме того, мы специально обращаем на это внимание ребят в условии задачи. Тем не менее, это первая бумажная задача, в которой картинка довольно затейливая и области выделяются не очевидно. Поэтому задача и помечена как необязательная. В зависимости от уровня класса вы можете предложить ее всем, либо выборочно, либо заменить ее на необязательные задачи из следующих уроков (а позже к ней вернуться).


Решение задач электронного учебника


Задача 79. Это первая задача, в которой картинка нарисована в рамочке. Работая с листом определений «Области», дети решали задачи с такими картинками. В частности, они должны были усвоить, что в картинку входят все области, находящиеся внутри прямоугольной рамочки (или круглой границы). Тем не менее, кто-то из учеников, возможно, это забыл. Если вы столкнетесь с ошибками такого типа, когда ребенок вообще не раскрашивает и не считает области фона, попросите ребенка вернуться к листу определений. Картинка с листа определений как раз в прямоугольной рамочке. Надо обратить внимание, что после подсчета областей на картинке не должно остаться ни одной нераскрашенной (белой) области.


С содержательной точки зрения картинка в этой задаче гораздо сложнее, чем картинки в задачах 153 и 154. Это и понятно, ведь электронный инструмент «заливка» поможет ребенку правильно выделить области, то есть возьмет на себя основную содержательную нагрузку. Ребенку в электронных задачах на подсчет областей картинки остается следить только за соблюдением алгоритма – помечать клетки числовой линейки без пропусков (друг за другом), раскрашивать области в соответствующие цвета, следить, чтобы по окончании решения на картинке не осталось нераскрашенных областей.


В этой картинке 7 областей.


Задача 80. Здесь надо выбрать цепочку по описанию. Подобные задачи пока являются для детей непростыми, поскольку они требуют внимательного анализа условия – необходимо выделить из текста задачи описание искомой цепочки, а затем найти цепочку, обладающую таким свойством (третья и предпоследняя бусины должны быть одинаковыми). Облегчает работу в данном случае лишь то, что искомую цепочку трудно перепутать с другой, ведь во всех остальных цепочках пары одинаковых бусин вообще нет.


Задача 81. Как видите, картинка для выделения областей очень сложная, без поддержки электронной заливки детям обойтись было бы затруднительно. Интересно, что, несмотря на большое число черных линий (границ областей), в этой картинке всего 4 области.
Если у вас в классе есть очень сильные учащиеся, распечатайте им картинку из этой задачи и попросите выполнить ее в бумажном виде (в классе или дома).


Задача 82. Задача на повторение листа определений «Одинаковые фигурки, разные фигурки». Здесь детям снова предстоит вспомнить, что фигурки нельзя поворачивать и переворачивать (в отличие от бусин), в частности зеркально-симметричные фигурки у нас в курсе считаются разными. Так в данном наборе фигурок есть несколько пар очень похожих слоников, но решение в этой задаче ровно одно.


Задача 83. Наиболее сложный вид задач нашего курса – задачи на построение объекта по описанию. В данном случае необходимо построить цепочку из фигурок уже заданных в условии задачи. Самый простой способ решения таких бумажных задач – телесное решение. Для этого нужно вырезать фигурки и расположить их в цепочку на столе в соответствии с описанием, данным в условии. Если не получилось, фигурки легко поменять местами и снова проверить условия описания. Так можно делать до тех пор, пока решение не будет найдено, и затем перенести его на бумагу. Конечно, телесное решение потребует дополнительного времени (на вырезание фигурок), но зато здесь доля самостоятельности и творчества детей будет максимальной. Решение подобных задач в электронном виде позволяет добиться того же эффекта (телесного решения), но при этом сэкономить время. Как видите, в данной задаче фигурки также можно перекладывать лапкой до тех пор, пока решение не будет найдено. Условие в описании лишь одно, поэтому построить цепочку несложно и с первой попытки, но в дальнейшем уровень сложности задач на построение объекта по описанию будет повышаться, и возможность телесного решения будет оказывать вам большую методическую помощь.

Урок 28


План


Работа с клавиатурным тренажером (10–15 мин)
1. Выполнение занятия 5 на клавиатурном тренажере.
Работа с бумажным учебником (20–25 мин)
2. Решение обязательных задач 157–160.
3. Решение необязательных задач 161, 162.


На данном уроке дети не изучают новых листов определений, он целиком посвящен решению задач. Поэтому его лучше организовать так, чтобы каждый ребенок работал независимо от других. Проще всего на этом уроке будет в начале урока организованно посадить детей за машины и сразу дать им все необходимые пояснения. После этого каждый начинает работать с клавиатурным тренажером в собственном темпе. Вам стоит следить лишь за тем, чтобы работа с тренажером не затягивалась, даже слабые дети через 15 минут должны приступить к решению задач. После этого вы консультируете ребят в индивидуальном порядке, если они обращаются к вам с вопросами.


Выполнение упражнения 5 на клавиатурном тренажере

Это занятие на клавиатурном тренажере посвящено буквам П и Р. Проследите, чтобы дети все время возвращали руки к исходной позиции.


Решение обязательных бумажных задач


Задача 157.
Постарайтесь не давать никаких общих пояснений. Во время решения задачи детьми пройдите по классу и проверьте, все ли усвоили алгоритм подсчета областей, описанный на текущем листе определений. При необходимости, обсудите алгоритм с ребенком, испытывающим трудности – пусть подробно опишет, что нужно делать и в каком порядке. В данной задаче непросто раскрасить «приграничные» области картинки (они узкие), поэтому детям потребуется дополнительное время. Как и в компьютерной задаче 81, областей здесь меньше чем кажется на первый взгляд: всего 4 области.


Задача 158. Задача на повторение листа определений: «Бусины в цепочке». Правильное выполнение каждого пункта инструкции требует полного перебора, так как необходимо найти все объекты, удовлетворяющие условию. Ясно, что после выполнения первых двух пунктов инструкции, все цепочки будут обведены – одни красным, другие фиолетовым. Возможно, кто-то из детей уже сообразит, что четвертый пункт инструкции буквально означает, что нужно найти все цепочки, в которых ровно 3 буквы.


Задача 159. Здесь требуется построить цепочку, но ограничений совсем мало. В этой задаче дан набор элементов цепочки (бусин на листе вырезания), но никаких условий на порядок бусин в цепочке не наложен. Поэтому можно наклеивать бусины как угодно.


В этой задаче впервые дан вопрос, ответом на который служит целое слово (а не цифра или буква). На самом деле такие задания мы будем давать не часто. Причина – сложность в формализации очень многих вопросов и необходимость апелляции к знаниям из области языка. Углубление в языковые вопросы для нас пока нежелательно, поскольку оно несколько уводит нас в сторону от информатической сути вопроса. Так, с точки зрения информатики, в данном случае сгодится любое слово, которое правильно указывает цвет: красного, красный, красная, форма слова нам совершенно не важна. При этом нам ясно, что любой учитель начальной школы поправит ребенка, если он напишет ответ по форме слова (роду, падежу, числу) не соответствующий вопросу. При этом дискуссия учителя с учеником о правильности решения уйдет из области информатики в область русского языка, поскольку никакого противоречия с правилами игры, введенными в нашем курсе здесь просто нет. Именно поэтому мы обычно стараемся давать вопросы, где таких неоднозначностей возникнуть не может.


Задача 160. Как видите, областей в этой картинке довольно много, но их легко выделять и удобно раскрашивать. Поэтому мы думаем, что ваша помощь ребятам не потребуется.


Решение необязательных бумажных задач


Поскольку данный урок – последний перед контрольной работой, то вы можете на нем предлагать детям любые задачи, начиная с 161 и по 171 (как в классе, так и для домашней работы). Граница между содержанием этого урока и урока выравнивания нежесткая и достаточно условная, деление здесь сильно зависит от уровня класса и ваших личных пристрастий. Мы же условно относим необязательные задачи 161 и 162 к данному занятию, а все остальные – к уроку выравнивания.


Задача 161. Похожие задачи в нашем курсе уже встречались, больше всего эта задача напоминает задачу 156 бумажного учебника. Как и в задаче 156, сначала нужно очень внимательно прочитать формулировку задачи и вычленить из нее отдельные условия описания, которым должна удовлетворять цепочка-результат. Во-первых, шестая и вторая бусина цепочки должны быть одинаковыми, значит надо раскрасить нераскрашенные треугольные бусины в один цвет. Во-вторых, первая и предпоследняя бусины цепочки должны быть разными, значит надо раскрасить нераскрашенные квадратные бусины в разные цвета. Наконец, в условии сказано, что раскрасить надо все бусины цепочки, поэтому оставшиеся бусины надо раскрасить в любые цвета (о них ничего не сказано).


Задача 162. Обратите внимание на эту задачу, она сложная и предназначена для сильных учащихся. Здесь впервые учащийся полностью сам создает цепочку по описанию, которое состоит из двух составных условий. Решений у этой задачи довольно много. Ясно, что в цепочке обязательно должно быть 4 числа, но их может быть гораздо больше. Например, подойдет цепочка из десяти единиц или цепочка 1 – 2 – 1 – 2. Конечно, рисуя цепочку, дети должны еще следить, чтобы цепочка была оформлена правильно, в частности, имела начало и конец.