Урок 3.11 Решение задач с параметром
с использованием графиков
входящих в условие задачи функций

Пример 3

Найти все пары чисел p и q, при которых неравенство |x2 + px + q| > 2 не имеет решений на отрезке [1; 5].

Решение

Переформулируем задачу в эквивалентной форме, не содержащей отрицания: найти все пары чисел p и q, при которых на отрезке [1; 5] справедливо неравенство
–2 ≤ x2 + px + q ≤ 2. Иначе говоря, необходимо так разместить параболу y = x2 + px + q на координатной плоскости, чтобы ее ветви пересекали только боковые стороны квадрата K = {(x; y)|1 ≤ x ≤ 5, –2 ≤ y ≤ 2}, то есть отрезки и (см рис.1.).
Такой геометрический подход позволяет встать на иную точку зрения.
Вспомним, что график функции y = x2 + px + q получается из графика функции y = x2 параллельным переносом (ведь ).
Значит, вместо переноса параболы y = x2 можно переносить квадрат K. Теперь становится ясным, что единственное возможное положение квадрата относительно параболы
y = x2, удовлетворяющие условию задачи, изображено
на рис.2.
Итак, .


Рис. 1.


Рис. 2.

Ответ

 

ИИСС "Алгебраические задачи с параметрами"