Задача No. 52734

Каждая из трёх окружностей радиуса r касается двух других. Найдите площадь фигуры, расположенной вне окружностей и ограниченной их дугами, заключёнными между точками касания.

Скрыть решение

Подсказка

Искомая площадь равна разности площадей равностороннего треугольника и трёх секторов.

Решение

Искомая площадь равна разности площадей равностороннего треугольника с вершинами в центрах окружностей (его стороны равны 2r) и трёх секторов данных окружностей.

Площадь каждого сектора составляет шестую часть площади круга. Следовательно, искомая площадь равна

r² $\displaystyle \sqrt{3}$ - $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{6}}$ ^.3 $\displaystyle \pi$ r² = r² $\displaystyle \left(\vphantom{\sqrt{3} - \frac{\pi}{2}}\right.$ $\displaystyle \sqrt{3}$ - $\displaystyle {\frac{\pi}{2}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{\sqrt{3} - \frac{\pi}{2}}\right)$ .

Ответ

r² $\left(\vphantom{\sqrt{3} - \frac{\pi}{2}}\right.$ $\sqrt{3}$ - ${\frac{\pi}{2}}$ $\left.\vphantom{\sqrt{3} - \frac{\pi}{2}}\right)$ .

Условие

Подсказка

Решение

Ответ