Суммирование некоторых последовательностей

Сумма n членов арифметической прогрессии, в сущности, сводится к суммированию первых n натуральных чисел. Уже в древности возник вопрос о суммировании квадратов и других степеней первых n натуральных чисел. На одной из глиняных табличек вавилонян (VI в. до н. э.) было обнаружено равенство:
12 + 22 + 32 + ... + 102 = (1 ∙ (1/3) + 10 ∙ (2/3)) ∙ 55.
Видимо, это запись общего правила суммирования квадратов:
12 + 22 + 32 + ... + n2 = (1 ∙ (1/3) + n ∙ (2/3)) ∙ (1 + 2 + 3 + ... + n),
которое не могло быть записано в виде формулы (за отсутствием алгебраических обозначений) и потому излагалось с помощью конкретного примера. Мы и здесь не знаем, как вавилоняне получили это правило.
Зато доказательство правила для вычисления суммы квадратов имеется у Архимеда, который применяет его в нескольких случаях, в частности, при определении площади спирали. Дело в том, что, чтобы найти площадь витка спирали, Архимед делит ее на секторы и показывает, что каждый сектор спирали по площади лежит между некими меньшим и большим круговыми секторами, причем разность между суммарной площадью больших секторов, с одной стороны, и меньших секторов, с другой, может быть сделана сколь угодно малой при увеличении числа секторов. А в силу того, что расстояние от точки спирали до центра пропорционально углу оборота, радиусы секторов и их дуги пропорциональны углам оборота, а значит, их площади пропорциональны квадратам углов оборота, пропорциональных, в свою очередь, последовательным натуральным числам. Поэтому возникает вопрос, суммарная площадь больших или меньших круговых сегментов пропорциональна сумме квадратов первых n последовательных натуральных чисел, и такую сумму Архимеду надо было уметь определить.

Рис. 1. Площадь первого витка спирали Архимеда

Сумму квадратов Архимед находит, как обычно, в геометрических терминах. При переводе на язык современных алгебраических обозначений и с некоторыми сокращениями его доказательство выглядит так.
Начнем с того, что, как мы уже знаем, k (k – 1) / 2 = 1 + 2 + 3 + ... + (k – 1),
откуда
k (k – 1) = 2 (1 + 2 + 3 + ... + (k – 1)),
k2 = 2 (1 + 2 + 3 + ... + (k – 1)) + k.

Рис. 2. Представление квадрата числа в виде суммы: k2 = 2 (1 + 2 + 3 + ... + (k – 1)) + k


Рис. 3. Сумма квадратов первых натуральных n чисел.


Если мы запишем такие равенства для всех k от 1 до n и просуммируем их, получится
12 + 22 + 32 + ... + n2 = 2 (n – 1) ∙ 1 + 2 (n – 2) ∙ 2 + 2 (n – 3) ∙ 3 + ... + 2 ∙ 1 ∙ (n – 1) + (1 + 2 + 3 + ... + n).

Рис. 4. Дальнейшие операции с рядом 12 + 22 + 32 + ... + n2, фигура слева образована прямоугольниками с размерами (n – k)×k


Далее,
2 (n – 1) ∙ 1 = n2 – (n – 1)2 – 12,
2 (n – 2) ∙ 2 = n2 – (n – 2)2 – 22,
2 (n – 3) ∙ 3 = n2 – (n – 3)2 – 32,
...
2 ∙ 1 ∙ (n – 1) =  n2 – 12 – (n – 1)2.
Отсюда
12 + 22 + 32 + ... + n2 =  (n – 1) ∙ n2 – 2 (12 + 22 + 32 + ... + (n – 1)2) + (1 + 2 + 3 + ... + n),

 

Рис. 5. Дальнейшие операции с рядом 12 + 22 + 32 + ... + n2, желтым цветом обозначены вычитаемые части


или
3 (12 + 22 + 32 + ... + n2) = n3 + n2 + (1 + 2 + 3 + ... + n),

Рис. 6. Дальнейшие операции с рядом 12 + 22 + 32 + ... + n2, сложим три исходных ряда


Рис. 7. Дальнейшие операции с рядом 12 + 22 + 32+ ... + n2, подставим добавочные ряды на место вычитаемых частей


поэтому
12 + 22 + 32 + ... + n2 = (n3 + n2 + (1 + 2 + 3 + ... + n)) / 3.

Так как
1 + 2 + 3 + ... + n = n (n + 1) / 2,
12+22 + 32 + ... + n2 = (n3 + n2 + n (n + 1)/2) / 3 = n (n + 1) (2n + 1) / 6.

Сумму четвертых степеней первых n чисел получил арабский математик ал-Караджи (X–XI вв.). Он построил квадрат со стороной (1 + 2 + 3 + ... + (n – 1) + n), а в нем – другой квадрат (примыкающий к углу первого квадрата) со стороной (1 + 2 + 3 + ... + (n – 1)). Разностью этих двух квадратов является гномон, ширина которого n, а большая сторона равна (1 + 2 + 3 + ... + (n – 1) + n) = n (n + 1) / 2. Площадь этого гномона 2n2 (n + 1) / 2 – n2 = n3. Если теперь в квадрате со стороной (1 + 2 + 3 + ... + (n – 1)) выделить аналогичный гномон шириной (n – 1), его площадь будет (n – 1)3. Продолжая таким образом, в конце концов дойдем до квадрата со стороной 1. Площадь первоначального квадрата со стороной (1 + 2 + 3 + ... + (n – 1) + n), таким образом, разбилась на гномоны, площади которых равны n3, (n – 1)3, ...,33, 23, и квадрат площади 1 = 13. Таким образом, 13 + 23 + 33 + ... + n3 = (1 + 2 + 3 + ... + n)2 = (n (n + 1) / 2)2.

Рис. 8. Площадь гномона рана n3


Интересную последовательность рассмотрел французский философ-схоласт XIV в. – Н. Орем. Он задался вопросом: чему была бы равна средняя скорость (в тогдашней терминологии средняя «интенсивность», это более общий термин, но нам сейчас достаточно рассмотреть среднюю скорость) на промежутке, равном 2, если этот промежуток разбит на участки, соответствующие убывающей геометрической прогрессии: 1, 1/2, (1/2)2, (1/2)3..., а скорость на каждом участке растет в арифметической прогрессии: 1, 2, 3, 4... Для того, чтобы решить этот вопрос, надо вычислить выражение такого вида: 1 ∙ 1 + 2 ∙ (1/2) + 3 ∙ (1/2)2 + 4 ∙ (1/2)2... Сумму такого ряда Орем представлял в виде площади ступенчатой фигуры, сделанной из стоящих друг на друге прямоугольников, каждый из которых имеет высоту 1, а ширина нижнего 2, вышележащего 1, далее 1/2, (1/2)2 и т. д. Вся фигура разбита вертикальными линиями на отрезки шириной 1, 1/2, (1/2)2 и т. д.

Рис. 9. Ряд Орема


Эта фигура, по сути, ни что иное, как график скорости: высота в ее самой левой части равна 1, затем 2, затем 3 и т. д. Сумма ряда равна площади всей фигуры, вместе с тем эту площадь можно найти и иначе: площадь нижнего прямоугольника равна 2, более высокого 1, затем 1/2, (1/2)2 и т. д. – мы имеем дело не с чем иным, как с геометрической прогрессией, сумма которой равна 4. Средняя скорость на всем промежутке равна всей площади (4), деленной на длину промежутка (2) – то есть 2, скорости на втором промежутке. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ряд, рассмотренный Оремом, имеют конечную сумму. А другие ряды? Ясно, что для того, чтобы сумма бесконечного числа членов ряда равнялась бы конечной величине, нужно, чтобы сами члены ряда стремились бы к нулю, то есть начиная с достаточно большого номера становились бы меньше любой наперед заданной величины. Но этого мало. Бывают, оказываются, последовательности, стремящиеся к нулю, такие, что сумма ряда стремится к бесконечности. Орем первым доказал, что гармонический ряд
1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + ...
несуммируем, то есть сумма его n членов с ростом n рано или поздно превысит любое наперед заданное значение. Доказательство основывалось на том, что
1/3 + 1/4 > 2/4 = 1/2,
1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 > 1/2,
следующие 8 чисел также в сумме больше, чем 8/16 = 1/2, и т. д. А поскольку ряд 1 + 1/2 + 1/2 + 1/2 + и т. д. заведомо растет до бесконечности, то и гармонический ряд тоже растет к бесконечности. Этот факт иногда иллюстрируют следующим образом.

Кирпичи кладут один на другой так, чтобы они не падали: для этого центр масс всех верхних кирпичей должен лежать внутри основания нижнего. Если кирпичей два, то один может быть сдвинут относительно другого на половину длины. Если три, то средний относительно нижнего должен быть сдвинут на четверть, потому что центр масс верхних двух располагается посередине между центрами масс каждого. Если четыре, то по отношению к нижнему кирпичу следующий должен быть сдвинут на одну шестую длины одного кирпича. И т. д. В общем, получается, что, при неограниченном количестве идеальных кирпичей, самый верхний может быть сдвинут относительно самого нижнего на любое расстояние, поскольку гармонический ряд может принимать сколь угодно большое значение.

Помимо бесконечных сумм, можно рассматривать и бесконечные произведения. Первое из них ввел Ф. Виет. Рассматривая задачу о квадратуре круга, Виет вывел зависимость между площадями правильных многоугольников с n и 2n сторонами, вписанными в один и тот же круг радиуса R. Каждый из этих многоугольников можно разделить на 2n треугольников с вершиной в центре многоугольников и углом при вершине, равным 180°/n: у первого из них каждый такой треугольник будет прямоугольным, а у второго равнобедренным. Поскольку у них общая высота, отношение их площадей равно отношению оснований. У первого основание R cos (180°/n), у второго R. Отношение площадей многоугольников равно отношению площадей этих треугольников, т. е. cos (180°/n).

Рис. 10. Отношение площадей треугольников равно отношению оснований


Последовательно полагая n = 4, 8, 16 и т. д. и считая, что площадь многоугольников с возрастанием n неограниченно приближается к площади круга, Виет, перемножая равенства вида нашел, что