---

Показать решение

---

Скрыть решение

Подсказка

Докажите, что треугольники BAM и DMC равновелики, а расстояние от точки M до стороны AB равно радиусу окружности.

Решение

Поскольку треугольники BAC и BDC равновелики, а треугольник BMC — их общая часть, то площадь треугольника AMB также равна S.

Пусть O — центр окружности; R — её радиус; P, F и Q — точки касания со сторонами BC, CD и AD соответственно; K — проекция точки M на сторону AB. Тогда

В прямоугольном треугольнике COD известно, что

Отсюда находим, что R = .

С другой стороны, из подобия треугольников AKM и ABC следует, что KM = , а из подобия треугольников AMD и CMB —

Поэтому KM = = R.

Поскольку AB = 2R, то

Следовательно, R = .

Ответ

.