Задача No. 52653

В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 8, а площадь 2, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до её меньшего основания.

Скрыть решение

Решение

Пусть AD — меньшее основание, AB — боковая сторона, BC — большее основание трапеции ABCD, M — точка касания окружности со стороной AB, N — со стороной AD, Q — точка пересечения диагоналей, R — радиус окружности.

Поскольку

S_ABCD = 2R^. $\displaystyle {\frac{AD + BC}{2}}$ = 2R^. $\displaystyle {\textstyle\frac{4}{2}}$ = 4R,

то R = ${\frac{1}{2}}$ .

С другой стороны,

AM^.MB = R², или AM(AB - AM) = R², илиAM(2 - AM) = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$ .

Из этого уравнения находим, что AM = ${\frac{2-\sqrt{3}}{2}}$ .

Пусть K — основание высоты AK трапеции ABCD. Тогда

CK = $\displaystyle {\frac{AD + BC}{2}}$ = 2, tg $\displaystyle \angle$ NAQ = tg $\displaystyle \angle$ ACK = $\displaystyle {\frac{AK}{CK}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ,

QN = NAtg $\displaystyle \angle$ NAQ = MAtg $\displaystyle \angle$ NAQ = $\displaystyle {\frac{2-\sqrt{3}}{4}}$ .

Ответ

Найдите радиус вписанной окружности, отрезки, на которые точка касания делит боковую сторону, и тангенс угла между диагональю и основанием трапеции.

Условие

Решение

Ответ