б) Попробуйте сформулировать и доказать правило, позволяющее
найти следующие такие числа.
Скрыть решение
Решение
Если
x — делитель числа
A, то
— тоже его делитель. Это простое
наблюдение показывает, что каждому делителю числа
A можно
поставить в соответствие двойственный делитель (так, что
произведение любого делителя на свой двойственный равно
A). При
этом очевидно, что делитель
x является двойственным себе тогда и
только тогда, когда
x² =
A. Таким образом, если число
A не
является полным квадратом, то все его делители разбиваются на пары
двойственных друг другу, тем самым их количество четно. Если же
число
A является полным квадратом, то при разбиении его
делителей на пары двойственных без пары останется единственный
делитель
. Значит, в этом случае количество делителей
нечетно. Итак, натуральное число имеет нечетное число делителей
тогда и только тогда, когда оно является полным квадратом. Первые
десять таких чисел — 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100.