Скрыть решение
Подсказка
Примените теорему косинусов.
Решение
Пусть O1, O2, O3, O — центры окружностей S1, S2,
S3, S соответственно; A1, A2, A3 — точки касания
окружностей S1, S2, S3 с окружностью S.
Предположим, что точка M лежит на дуге
A1A2, не содержащей точки A3.
Обозначим через
,
,
углы между лучом OM и
лучами OO1, OO2, OO3 соответственно. Тогда, если r — радус каждой
из трёх меньших окружностей, а R — радиус большей, то по теореме
косинусов
MO12 =
R2 + (
R -
r)
2 - 2
R(
R -
r)cos

,
MO22 =
R2 + (
R -
r)
2 - 2
R(
R -
r)cos

,
MO32 =
R2 + (
R -
r)
2 - 2
R(
R -
r)cos

.
Тогда квадраты касательных, проведённых из точки
M к
окружностям
S1,
S2,
S3, соответственно равны:
MO12 -
r2 = 2
R(
R -
r)(1 - cos

) = 4
R(
R -
r)sin
2
,
MO22 -
r2 = 2
R(
R -
r)(1 - cos

) = 4
R(
R -
r)sin
2
,
MO32 -
r2 = 2
R(
R -
r)(1 - cos

) = 4
R(
R -
r)sin
2
.
Поэтому касательные равны
(синусы неотрицательны, т.к.
Осталось проверить равенство
Действительно,
sin

+ sin

= 2 cos 60
osin

= sin

.
Утверждение останется верным, если в качестве S1, S2, S3
взять любые равные окружности с центрами в вершинах правильного
треугольника.