Задача No. 52578

Три равных окружности S₁, S₂, S₃ попарно касаются друг друга, и вокруг них описана окружность S, которая касается всех трёх. Докажите, что для любой точки M окружности S касательная, проведённая из точки M к одной из трёх окружностей S₁, S₂, S₃, равна сумме касательных, проведённых из точки M к двум другим окружностям.

Скрыть решение

Подсказка

Примените теорему косинусов.

Решение

Пусть O₁, O₂, O₃, O — центры окружностей S₁, S₂, S₃, S соответственно; A₁, A₂, A₃ — точки касания окружностей S₁, S₂, S₃ с окружностью S.

Предположим, что точка M лежит на дуге A₁A₂, не содержащей точки A₃. Обозначим через $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ углы между лучом OM и лучами OO₁, OO₂, OO₃ соответственно. Тогда, если r — радус каждой из трёх меньших окружностей, а R — радиус большей, то по теореме косинусов

MO₁² = R² + (R - r)² - 2R(R - r)cos $\displaystyle \alpha$ ,

MO₂² = R² + (R - r)² - 2R(R - r)cos $\displaystyle \beta$ ,

MO₃² = R² + (R - r)² - 2R(R - r)cos $\displaystyle \gamma$ .

Тогда квадраты касательных, проведённых из точки M к окружностям S₁, S₂, S₃, соответственно равны:

MO₁² - r² = 2R(R - r)(1 - cos $\displaystyle \alpha$ ) = 4R(R - r)sin² $\displaystyle {\frac{\alpha}{2}}$ ,

MO₂² - r² = 2R(R - r)(1 - cos $\displaystyle \beta$ ) = 4R(R - r)sin² $\displaystyle {\frac{\beta}{2}}$ ,

MO₃² - r² = 2R(R - r)(1 - cos $\displaystyle \gamma$ ) = 4R(R - r)sin² $\displaystyle {\frac{\gamma}{2}}$ .

Поэтому касательные равны

2 $\displaystyle \sqrt{R(R - r)}$ sin $\displaystyle {\frac{\alpha}{2}}$ , 2 $\displaystyle \sqrt{R(R - r)}$ sin $\displaystyle {\frac{\beta}{2}}$ , 2 $\displaystyle \sqrt{R(R - r)}$ sin $\displaystyle {\frac{\gamma}{2}}$

(синусы неотрицательны, т.к.

0 $\displaystyle \leqslant$ $\displaystyle {\frac{\alpha}{2}}$ $\displaystyle \leqslant$ 180^o, 0 $\displaystyle \leqslant$ $\displaystyle {\frac{\beta}{2}}$ $\displaystyle \leqslant$ 180^o, 0 $\displaystyle \leqslant$ $\displaystyle {\frac{\gamma}{2}}$ $\displaystyle \leqslant$ 180^o.

Осталось проверить равенство

sin $\displaystyle {\frac{\beta}{2}}$ = sin $\displaystyle {\frac{\alpha}{2}}$ + sin $\displaystyle {\frac{\gamma}{2}}$ .

Действительно,

sin $\displaystyle {\frac{\alpha}{2}}$ + sin $\displaystyle {\frac{\gamma}{2}}$ = 2 cos 60^osin $\displaystyle {\frac{\alpha + \gamma}{4}}$ = sin $\displaystyle {\frac{\beta}{2}}$ .

Утверждение останется верным, если в качестве S₁, S₂, S₃ взять любые равные окружности с центрами в вершинах правильного треугольника.

Условие

Подсказка

Решение