Задача No. 52554

В треугольник ABC вписана окружность. Пусть x — расстояние от вершины A до касания окружности со стороной AB, BC = a. Докажите, что x = p - a, где p — полупериметр треугольника.

Скрыть решение

Подсказка

Используя равенство касательных, проведённых к окружности из одной точки, выразите сторону, равную a, через остальные стороны треугольника и указанный отрезок x.

Решение

Обозначим точки касания вписанной окружности со сторонами AB, BC и AC через C₁, A₁ и B₁ соответственно. Пусть AC = b и AB = c. Тогда

BA₁ = BC₁ = AB - AC₁ = c - x, CA₁ = CB₁ = AC - AB₁ = b - x,

BC = BA₁ + CA₁ = c - x + b - x = b + c - 2x.

Следовательно,

x = $\displaystyle {\frac{b + c - a}{2}}$ = $\displaystyle {\frac{b + c + a}{2}}$ - a = p - a.

Условие

Подсказка

Решение