Докажите, что основания высот, середины сторон и середины
отрезков от ортоцентра до вершин треугольника лежат на одной
окружности.
Скрыть решение
Подсказка
Докажите сначала, что середины сторон треугольника и основание
одной из высот лежат на одной окружности.
Решение
Пусть H — точка пересечения высот (ортоцентр) треугольника
ABC; A1, B1, C1 — основания высот, проведённых
из вершин A, B, C соответственно; A2, B2, C2
-- середины сторон BC, AC, BC; A3, B3, C3 —
середины отрезков AH, BH, CH.
Тогда
C2B2 — серединный перпендикуляр к отрезку AA1.
Поэтому
Следовательно, точки
A1,
A2,
B2,
C2 лежат на
одной окружности (отрезок
C2B2 виден из точек
A1 и
A2
под одним и тем же углом).
Аналогично докажем, что точки B1, A2, B2, C2 лежат
на одной (той же) окружности, и точки C1, A2, B2, C2
-- на той же окружности.
Таким образом, точки A1, B1, C1, A2, B2, C2
лежат на одной окружности.
Докажем теперь, что этой окружности принадлежат точки A3,
B3, C3. Действительно,
B3A2C3 =
BHC = 180
o -
BAC = 180
o -
B3A3C3.
Поэтому точки
A3,
B3,
A2,
C3 лежат на одной окружности.
Аналогично докажем, что на этой окружности лежат точки B2 и
C2. Следовательно, эта окружность совпадает с рассмотренной
ранее.