Задача No. 52511

Докажите, что основания высот, середины сторон и середины отрезков от ортоцентра до вершин треугольника лежат на одной окружности.

Скрыть решение

Подсказка

Докажите сначала, что середины сторон треугольника и основание одной из высот лежат на одной окружности.

Решение

Пусть H — точка пересечения высот (ортоцентр) треугольника ABC; A₁, B₁, C₁ — основания высот, проведённых из вершин A, B, C соответственно; A₂, B₂, C₂ -- середины сторон BC, AC, BC; A₃, B₃, C₃ — середины отрезков AH, BH, CH.

Тогда C₂B₂ — серединный перпендикуляр к отрезку AA₁. Поэтому

$\displaystyle \angle$ C₂A₁B₂ = $\displaystyle \angle$ BAC = $\displaystyle \angle$ C₂A₂B₂.

Следовательно, точки A₁, A₂, B₂, C₂ лежат на одной окружности (отрезок C₂B₂ виден из точек A₁ и A₂ под одним и тем же углом).

Аналогично докажем, что точки B₁, A₂, B₂, C₂ лежат на одной (той же) окружности, и точки C₁, A₂, B₂, C₂ -- на той же окружности.

Таким образом, точки A₁, B₁, C₁, A₂, B₂, C₂ лежат на одной окружности.

Докажем теперь, что этой окружности принадлежат точки A₃, B₃, C₃. Действительно,

$\displaystyle \angle$ B₃A₂C₃ = $\displaystyle \angle$ BHC = 180^o - $\displaystyle \angle$ BAC = 180^o - $\displaystyle \angle$ B₃A₃C₃.

Поэтому точки A₃, B₃, A₂, C₃ лежат на одной окружности.

Аналогично докажем, что на этой окружности лежат точки B₂ и C₂. Следовательно, эта окружность совпадает с рассмотренной ранее.

Условие

Подсказка

Решение