ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«СТАВРОПОЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

 

Кафедра информационных технологий в обучении и управлении учебным процессом

 

 

 

 

КОМПЛЕКТ УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИХ МАТЕРИАЛОВ 

К УЧЕБНОМУ МОДУЛЮ:

 

Методика обучения решению задач по алгебре и началам анализа в школе с использованием ЦОР в рамках курса «Практикум по решению задач»

 

 

 

 

в составе  дисциплины ГОС ВПО  СД.04  «Практикум по решению задач»

 

                           Специальность:     010100 -   математика

                                                                       (код ОКСО, наименование)

 

 

 

 

 

 

Подпись: Издание подготовлено в рамках проекта  «Информатизация 
системы образования», реализуемого Национальным фондом 
подготовки кадров по заказу Министерства образования и науки
Российской Федерации.



Ставрополь

2008

 

 

 

 

 

 

 

УТВЕРЖДАЮ

 

Ректор ___________________

 

"____"______________200_г.

 

 

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

К ПРАКТИЧЕСКИМ ЗАНЯТИЯМ

 

СТРУКТУРА

МЕТОДИЧЕСКИХ УКАЗАНИЙ К ПРАКТИЧЕСКИМ ЗАНЯТИЯМ

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 1

Тема: Методика использование ЦОР при изучении темы «Метод интервалов».

 

Продолжительность 2 часа

1. Учебная и воспитательная цель.

Так называемый метод интервалов является одним из важнейших инструментов математической деятельности. К сожалению, методу интервалов в общеобразовательной школе не уделяется должного внимания. В большей мере этот метод дается лишь в виде зачаточного знания, но не в виде умений и навыков его эффективного применения.

Использование ЦОР при изучении этого раздела математики позволит повысить качество обучения обучающихся, а именно будет способствовать наглядности, разнообразию обучающих заданий, тестов для контроля и самоконтроля. Использование новых образовательных технологий будет способствовать формированию у учащихся компетентностей, выражающихся в способности обучающихся самостоятельно решать проблемы в различных сферах деятельности, интеллектуальных и общих умений. Использование компьютерных программ учебного назначения позволит внедрить интерактивные методы обучения, различные формы учебной работы (индивидуальная работа, групповая работа, фронтальная работа и другие).

2. Краткие теоретические, справочно-информационные и т.п. материалы по теме занятия.

Использование ЦОР при обучении рассматриваемому разделу школьного курса математики может осуществляться по следующим направлением:

­         изучение информационно-справочных материалов компьютерной программы;  

­         реализация моделирующей части компьютерного продукта;

­          применение образовательных ресурсов Интернет;

­         изучение ЦОР как электронных учебников;

­         использование контролирующих программ и компьютерных тестов.      

3. Перечень (образцы) раздаточного материала, используемого на занятии.

В качестве раздаточного материала каждому обучающемуся предлагается справочная информация по работе с ЦОР [66].

4. Перечень и краткое описание технических (программных) средств, необходимых для проведения занятий.

 

 

Наименование

Назначение

Характеристики

Примечание

[66] Открытая Математика 2.6. Функции и графики (ООО «Физикон»)

Электронное средство поддержки и развития учебного процесса

1 CD

 

 

Приведем технические требования к оснащению школы оборудованием и программным обеспечением для использования ЦОР [66], особенности их установки и запуска.

В рекомендациях стратегического комитета НФПК приводятся следующие технические требования: ЦОР, поставляемые в школы, должны быть  совместимы с аппаратным и программным обеспечением, поставленным Министерством образования РФ в школы Российской Федерации в 2001-2004 гг., а именно:

·        Процессор Intel Celeron 700 MHz;

·        Оперативная память 128 Mb;

·        Объем жесткого диска 20 Gb;

·        Устройство для чтения CD-ROM;

·        Видеоадаптер SVGA;

·        Манипулятор «мышь»;

·        Операционная система Windows 2000, XP,  Alt Linux.

       Рассматриваемые в данном УМ ЦОР удовлетворяют перечисленным требованиям. Кроме того, некоторые из ЦОР требуют установки или устанавливают сами дополнительное программное обеспечение:

5. Рекомендации студентам по подготовке к занятию с указанием литературы.

Электронный репетитор по математике: Учебное пособие. – 2-е изд., перераб. и доп. – Ставрополь: Изд-во СГУ, 1999. – 124 с. (Файл 2(10) Метод Интервалов. С. 11-13.).

По рассматриваемой теме рекомендуемые ЦОР содержат недостаточное количество материала. Можно лишь предложить ЦОР [66] «Открытая Математика 2.6. Функции и графики» (ООО «Физикон»), который в дальнейшем будет описан. По этой причине для рассмотрения методики использования ЦОР при обучении методу интервалов мы также использовали собственную разработку «Электронный репетитор по математике». Данное пособие содержит описание большого количества компьютерных программ учебного назначения и может быть использовано в качестве рабочей тетради при выполнении практических заданий, поскольку содержит по каждой теме рабочие поля для решений и ссылки с примерами из соответствующих ЦОР.

6. Рекомендации по использованию информационных технологий (при необходимости).

Опишем методику использования «Электронного репетитора по математике» при обучении методу интервалов.

Обучающимся  наверняка приходилось встречаться и изучать различные пособия,  методические указания  по математике,  которые,  как правило,  имеют стандартный вид:  теоретический материал,  решенные  задачи и упражнения,  задания для самостоятельной работы,  варианты  контрольных заданий.

 Все это хорошо,  но  иногда обучающемуся,  самостоятельно  изучающему  предмет,  становится немного скучно.  Материал  не всегда  логически  упорядочен,  нередко отсутствует обратная связь с обучаемым,  выделение главного и второстепенного,  минимальная  часть обязательного материала,  системный подход к изучению предмета  и  возможность самому пробовать,  ошибаться,  но всегда иметь рядом опытного репетитора. В качестве такого репетитора можно выбрать ПК с соответствующими ЦОР.  Компьютер с соответствующим программным обеспечением позволит эффективно организовать поиск нужной учебной информации,  тренаж для формирования знаний,  умений и навыков,  текущий и итоговый контроль усвоения учебного материала,  интерактивный диалог с обучаемым,  получить необходимую информацию и обменяться ею с преподавателями и другими обучаемыми по электронной почте  и многое другое.

В настоящее время  уже у многих обучающихся имеются персональные компьютеры дома  или они их используют для решения различных задач в учебных заведениях,  но  в большей мере компьютер молодыми людьми пока применяется для досуга,  развлечений.  Объем качественных компьютерных программ учебного назначения незначителен  и  в обучении  педагогические возможности  современного персонального компьютера далеко полностью не использованы.

Предлагаемые УММ являются компьютерным программно-методическим комплексом, позволяющим при наличии современного персонального компьютера  систематизировать свои знания,  подготовиться к экзаменам по математике.

  Методический материал рассматриваемого учебного пособия построен следующим образом:

·        информационная часть (небольшой теоретический материал,  примеры решенных задач);

·        задачи,  предназначенные для самостоятельного решения с контролем либо с помощью соответствующей компьютерной программой,  либо преподавателем,  проверяющим краткие решения обучаемых в специальных полях для решения;

·        поля для краткого решения задач обучаемым;

·        компьютерные тесты;

·        дополнительная информация,  которую можно получить,  используя информационно-справочную компьютерную программу.

 

 Этот материал снабжен специальными пиктограммами для навигации:

 

           Эта  пиктограмма указывает на то,  что данная  информация   является важной,  и ее следует запомнить.

           Подсказка (шпаргалка)  для решения задачи.

 

             Увидев эту пиктограмму,  проявите максимум терпения.

 

            Эта пиктограмма говорит о необходимости использования            соответствующей компьютерной программы.

 

             Увидев эту пиктограмму,  запишите решение в отведенные для этой цели поля.

Изучив весь материал, решите варианты контрольных заданий по выбранной теме.

Теперь опишем методику использования рекомендованного ЦОР «Открытая Математика 2.6. Функции и графики» (ООО «Физикон»).

На первом этапе необходимо при изучении теоретических основ метода интервалов воспользоваться материалом раздела «2.5.2. Решение неравенств» ЦОР «Открытая Математика 2.6. Функции и графики» (ООО «Физикон») для получения общих сведений о возможности построения наглядной модели метода интервалов.

На последующих этапах дидактического цикла необходимо пользоваться интерактивной моделью «2.20.  Метод интервалов» из раздела «Модели» при решении наиболее затруднительных задач.

Интерактивная модель демонстрирует один из методов решения дробно-рациональных неравенств – метод интервалов. Общий вид левой части неравенства записан в левой части модели. В правой части неравенства находится 0. Между этими частями могут стоять знаки «>», «<», «=», «≥», «≤»; выбор нужного знака осуществляется при помощи соответствующего переключателя. Задайте параметры C, ai, bi, αi, βi (для 1 ≤ i ≤ 3). При работе с моделью необходимо вводить значения соответствующих параметров в поля коэффициентов.

Графическая иллюстрация к методу интервалов появится в верхней части модели. Точки, входящие в решение неравенства, будут выделены зеленым цветом. Формульную запись решения можно увидеть в окне вывода в нижней части модели.

 

 

 

 

7. Практические задачи, задания, упражнения.

 

1) Загрузите ЦОР [66] Открытая Математика 2.6. Функции и графики (ООО «Физикон»). Опишите свои трудности. Пользовались ли Вы руководством пользователя по инсталляции?

2) Зайдите в раздел «Модели» и выберите модель 2.20. «Метод интервалов». Опишите свои трудности. Пользовались ли Вы при этом системой помощи?

3) Ознакомьтесь с описанием интерактивной модели. Опишите свои трудности. Насколько полно отражает эта модель возможность решения множества задач методом интервалов?

4) Используя интерактивную модель «2.20.  Метод интервалов» из ЦОР [66], решить следующие неравенства методом интервалов:

 

- >1;                       

 

;                         

 

, где V обозначает один из знаков неравенства >, ³, <, £;

 

;              

 

.

5) Спроектируйте систему математических задач, решаемых с помощью инструментария данной модели. Обоснуйте целесообразность и педагогическую необходимость использования рассматриваемой модели.

6) Укажите возможности применения рассматриваемой интерактивной модели при работе с другими разделами ЦОР [66]. Приведите примеры.

7)  Приведите примеры использования других интерактивных моделей в рассматриваемом ЦОР [66].

8) Опишите структуру и основные принципы построения интерфейса ЦОР [66]. Проведите сравнительный анализ с другими ЦОР по математике.

9) Опишите методику использования раздела «справочник» ЦОР [66] при решении задач методом интервалов.

10) Подготовить систему индивидуальных заданий двух уровней сложности по теме «Метод интервалов» с помощью ЦОР [66].

8. Задания студентам для самостоятельной работы.

1.     Подобрать неравенства и решить их методом интервалов с обязательным применением инструментария и моделей ЦОР[66].

2.      Установите ЦОР [66] и опишите трудности, с которыми вы при этом столкнулись.

3.     Проведите среди своих знакомых опрос, показав им главные экраны ЦОР [66]: какое сочетание цветов наиболее приятно.

4.     Предложите нескольким студентам выполнить маршрут из ЦОР [66]. Попробуйте в процессе выполнения провести мониторинг их действий с помощью классного журнала. С какими трудностями или ошибками они столкнулись?

5.     Сравните web-сайты поддержки ЦОР [66]. Оцените их по двум параметрам: дизайн, содержательность.

6.     В каких ситуациях в работе ЦОР [66] возникали ошибки? Сведите все ошибки в единый журнал.

7.      Вам нужно протестировать группу обучающихся на «креативность мышления». Какое задание из ЦОР [66] вы выберете?

 

9. Контрольные вопросы, тесты, задания по теме занятия.

1) Подобрать систему упражнений для использования интерактивной модели «2.20. Метод интервалов» из ЦОР [66].

2) Предложить педагогический сценарий для разработки ЦОР для формулировки свойства непрерывности функции, используя метод проблемного обучения.

3) Предложить методику проведения телекоммуникационного проекта для формирования алгоритма решения неравенств методом интервалов.

4) Используя сервисные возможности Интернета, сформировать материал по образовательным ресурсам Интернет по данной теме.

10. Рекомендации для преподавателей по проведению занятия (с обязательным указанием на инновационность целей, содержания, методов, форм и средств обучения).

Творческие индивидуальные задания.

1) Рассмотрим использование телекоммуникационных проектов при обучении решению неравенств методом интервалов.

Используя возможности электронной почты и Интернета в рамках лаборатории педпроектирования и других компьютерных классов университета провести следующую работу. Разбить обучающихся на группы для выполнения ими с помощью компьютеров следующих заданий:

Используя возможности графического редактора схематически изобразить график функции f(x), которая непрерывна и сохраняет постоянный знак  на интервале [a,b].

Затем обучающимся предложить следующий компьютерный тест:

Является ли множество всех действительных чисел интервалом непрерывности функции f(x)=1/х?

Можно ли утверждать, что х=3 является нулем функции f(x)=(х-3)/(х2-4х+3).

Приведите пример функции, которая на множестве R всегда положительна.

Приведите пример функции, которая на множестве R всегда положительна.

Является ли множество (1;∞) решением неравенства (х+3)>0?

Приведите пример неравенства, имеющего конечное множество решений.

Запишите интервалы знакопостоянства функций f(x)=9х-1)/(х-4)(х+5)

На каком множестве функция f(x)=1/(9х+5)(х-12) отрицательна?

Решая эти задания в коллективном режиме, обмениваясь информацией по ходу решения с помощью электронной почты, обучающиеся должны сформулировать свойство непрерывности функции.

Используя свойство непрерывности функции и выполненные задания, обучающиеся совместно при помощи компьютерных коммуникаций должны сформулировать алгоритм решения неравенств методом интервалов.

В заключении результатом их совместной работы должен стать подбор заданий для решения неравенств методом интервалов. Этот проект должен быть оформлен совместно с преподавателем и выставлен на сайт лаборатории педпроектирования.

       2) Выполните дидактический анализ программно-педагогического средства [66], ориентированного на использование на уроках математики.

 

    3) Составьте описание программно-педагогического средства [66], включив в него следующие характеристики:

·        тип используемой ОС;

·        тип организации взаимодействия с ПП (сетевой, несетевой);

·        степень сложности требующихся умений взаимодействия с компьютерной техникой;

·        характер взаимодействия с пользователем (интерактивное, неинтерактивное);

·        функциональные возможности (мультимедийное, немультимедийное);

·        характер использования (иллюстрирующее, информирующее, обучающее, тренажерное, тестирующее, моделирующее, игровое, комплексное);

·        дидактическая роль (направленное на получение новых знаний, на уточнение и систематизацию суммы знаний, контроль знаний, развивающей направленности, комплексное);

·        компоненты действий (на исполнение, на преобразование, на конструирование).

 

СТРУКТУРА

МЕТОДИЧЕСКИХ УКАЗАНИЙ К ПРАКТИЧЕСКИМ ЗАНЯТИЯМ

 

 

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 2

 

Тема: Методика использования ЦОР при решении различных уравнений, неравенств и их систем.

 

Продолжительность 8 часов

 

1. Учебная и воспитательная цель.

Сформировать прочные знания у обучающихся по использованию рекомендованных ЦОР для решения уравнений,  неравенств и их систем. Рассмотреть различные модели использования ЦОР при обучении будущих учителей данному разделу. Усилить логическую составляющую и прикладной характер рассматриваемого материала на основе использования рекомендованных ЦОР. Осуществить междисциплинарную и внутрипредметную связь. Повысить качество образования на основе использования инфокоммуникационных технологий.

2. Краткие теоретические, справочно-информационные и т.п. материалы по теме занятия.

Приведем информацию об инструментарии решения систем линейных неравенств с двумя переменными из ЦОР [54].

 

1. Три прямые на плоскости, заданные уравнениями вида y = mx + b, которые можно расположить произвольным образом, перемещая пары точек, определяющие эти прямые.

2. Три линейных неравенства вида y < mx + b, y > mx + b. Для каждого неравенства имеется переключатель, позволяющий менять знак неравенства. Каждое из неравенств связано с одной из упомянутых выше прямых и описывает полуплоскости, на которые разбивает плоскость данная прямая. Система этих трех линейных неравенств позволяет описать любую область на плоскости, границами которой являются три заданные прямые.

3. Детектор решения – стрелка, которая имеет два состояния: включено-выключено. Стрелку можно свободно перемещать по плоскости. Во включенном состоянии ее конец отмечает точки области, являющейся решением неравенства (когда конец стрелки показывает на точку этой области).

 

 

Приведем описание инструментария решения рациональных неравенств из того же ЦОР.

 

1.   Координатная прямая, на которой заданы два промежутка; в зависимости от взаимного расположения их концов, промежутки могут быть конечными или бесконечными (рис.1, 2 ).

2.   Три прямые – графики линейных функций, которые можно менять, перемещая пары точек, определяющие эти прямые; прямые можно спрятать или показать нажатием соответствующих клавиш; изначально эти прямые не показываются (рис. 2).

3.   Рациональное неравенство, заданное отношением первой линейной функции к произведению двух других линейных функций; коэффициенты неравенства можно менять перемещением прямых, задающих линейные функции (рис.1, 2).

4.   Детектор, определяющий для каждой точки прямой, является ли она решением неравенства и попадает ли хотя бы в один из заданных на прямой промежутков. Если выполнено только одно из этих двух условий, то появляется соответствующее сообщение (рис.1, 2). Проверяемую точку можно перемещать свободно либо привести в автоматическое движение. Таким образом, с помощью промежутков можно задать на оси ответ к неравенству, а с помощью детектора проверить его правильность.

Рис. 1

 

 

Рис. 2

 

 

3. Перечень (образцы) раздаточного материала, используемого на занятии.

В качестве раздаточного материала каждому обучающемуся предлагается справочная информация по работе с ЦОР [53,54,66].

 

4. Перечень и краткое описание технических (программных) средств, необходимых для проведения занятий.

Наименование

Назначение

Характеристики

Примечание

[53] Электронное издание «Математика, 5-11 класс. Практикум» (ООО «Дрофа»)

Электронное средство поддержки и развития учебного процесса

1 CD

 

[54] Электронное издание «Математика, 5-11 класс» (ЗАО «1С»)

Электронное средство поддержки и развития учебного процесса

2 CD

 

[66] Открытая Математика 2.6. Функции и графики (ООО «Физикон»)

Электронное средство поддержки и развития учебного процесса

1 CD

 

5. Рекомендации студентам по подготовке к занятию с указанием литературы.

Электронный репетитор по математике: Учебное пособие. – 2-е изд., перераб. и доп. – Ставрополь: Изд-во СГУ, 1999. – 124 с. (Файл 5,6. Решение уравнений и неравенств.. С. 21-43.).

Данное пособие содержит описание большого количества компьютерных программ учебного назначения и может быть использовано в качестве рабочей тетради при выполнении практических заданий, поскольку содержит по каждой теме рабочие поля для решений и ссылки с примерами из соответствующих ЦОР.

 

6. Рекомендации по использованию информационных технологий (при необходимости).

Рассматриваемые виды уравнений и неравенств рекомендуется изучать, комбинируя использование всех трех предлагаемых ЦОР.

На первом этапе дидактического цикла предлагается получение информации и знаний из разделов «Алгебра 7-9 кл.» (ЦОР  «Электронное издание «Математика, 5-11 класс. Практикум» (ООО «Дрофа»), посвященных простейшим уравнениям, неравенствам и их системам, а также из разделов 2.4. «Тригонометрические уравнения и неравенства» и 3.5. «Показательные и логарифмические уравнения и неравенства» для 10-11 кл. При рассмотрении каждого из разделов необходимо сначала изучить пункт «Общие сведения», а затем, освоив «Инструментарий», приступить к решению упражнений в интерактивной форме, контролируя получение оценок и ведение статистики конкретного студента в разделе «Результаты».

Далее предлагается ознакомиться с основными возможностями ЦОР «Открытая Математика 2.6. Функции и графики (ООО «Физикон») по моделированию и графическому представлению решений различных уравнений и неравенств. При этом обратить внимание на внутрипредметные связи (например, с темой «Метод интервалов») и использование таких интерактивных моделей-чертежей, как «2.17. Решение уравнений», «Модель 2.18. Метод деления отрезка пополам», «Модель 2.19. Решение неравенств»,  «Модель 2.20. Метод интервалов», «Модель 2.21. Система уравнений с двумя переменными». При необходимости построения графиков функций в декартовой системе координат можно воспользоваться разделом «Графер» и использовать предлагаемый модуль в качестве  инструментария построения всевозможных графиков функций, необходимых при решении уравнений и неравенств.

Для более подробного и полного изучения методов решения уравнений, неравенств и их систем (метода разложения на множители, метода подстановок и метода перехода от равных значений функций к равным значениям аргументов функций), в том числе в рамках графического моделирования этих решений, предполагается использовать ЦОР «Электронное издание «Математика, 5-11 класс» (ЗАО «1С»).  Здесь необходимо подробно изучить предлагаемый инструментарий моделирования в пункте «Помощь. Содержание» и правильно прорешать все задания из раздела «Графическое решение уравнений и неравенств». Особое внимание при работе с пунктом  «Системы линейных неравенств с двумя переменными» необходимо уделить методическим рекомендациям, в которых описан алгоритм применения графической интерактивной модели и разобраны типовые примеры, а также даны указания к выполнению творческих поисковых заданий на основе проектной деятельности.

В подразделе «Рациональные неравенства» необходимо сначала выполнить задания из пункта «Решение неравенств вида f(x) > g(x) на отрезке по графику», используя интерактивную модель-чертеж, где на рабочем листе последовательно открывать элементы заданий 1-6 (при необходимости можно пользоваться подсказками к отдельным упражнениям). Затем в пункте «Графическое решение рациональных неравенств. Задания с самопроверкой» выполнить лабораторную работу из 6 заданий, сконфигурировав решение каждого на отдельной модели-чертеже, а закончить изучение темы использованием инструмента самопроверки».

ЦОР «Электронное издание «Математика, 5-11 класс. Практикум» (ООО «Дрофа») предоставляет возможность будущему учителю разработать собственный урок средствами программной оболочки.

Для текущего и итогового контроля по методам решения уравнений и неравенств различной степени сложности можно использовать ЦОР «Открытая Математика 2.6. Функции и графики (ООО «Физикон»), раздел «Система составления контрольных работ».

 

2. Практические задачи, задания, упражнения.

1)     Загрузите каждый из рекомендованных ЦОР, используемые для решения уравнений, неравенств и их систем. Опишите свои трудности. Пользовались ли Вы руководством пользователя по инсталляции?

2)     Проанализируйте, какие вопросы по решению уравнений, неравенств и их систем рассматриваются в предлагаемых ЦОР. Оцените полноту изложения и педагогическую целесообразность использования данных ЦОР для решения указанных задач.

3)     Подберите совокупность уравнений, неравенств и их систем и разработайте методику использования ЦОР для их решения.

4)     Составьте аннотированный список информационных образовательных ресурсов, решение задач которых могло бы быть осуществлено при помощи инструментариев рассматриваемых ЦОР.

5)     Опишите структуру и основные принципы построения интерфейса ЦОР [53, 54, 66]. Проведите сравнительный анализ с другими ЦОР по математике.

6)     Приведите примеры рассматриваемых фрагментов ЦОР, несущих новое содержание в раздел «Решение уравнений, неравенств и их систем» школьного курса математики.

7)     Перечислите известные Вам новые формы учебной деятельности, невозможные без использования ЦОР [53,54,66] и аналогичных им.

 

     8) Используя инструментарий  ЦОР [54], описанный выше,  выполнить  поисковые задания, связанные с конструированием области решения, либо системы неравенств с заданными свойствами, учитывая, что прямые этого инструмента находятся в общем положении (т.е. среди них нет параллельных, и они не проходят через одну точку).

Задание 8.1

1.     При какой комбинации знаков неравенств область, описываемая системой, будет ограниченной?

2.     Верно ли, что разные комбинации знаков неравенства определяют разные области? Ответ обоснуйте.

3.     Подберите такую комбинацию знаков неравенств, чтобы система неравенств определяла внутренность угла.

4.     Можно ли, изменив один знак неравенства, получить описание другой области, ограниченной углом? Ответ обоснуйте.

5.     Опишите область, которая получается из области пункта В при изменении знаков всех неравенств. Какая область получится из области пункта А при таком действии?

6.     Все бесконечные области при пересечении трех прямых в общем положении ограничены либо двумя прямыми (назовем такие области угловыми), либо тремя (назовем их боковыми). Докажите или опровергните утверждение: «при нечетном числе изменений знаков неравенств тип определяемой системой бесконечной области меняется так, что угловые области переходят в боковые, а боковые – в угловые, а при четном – не меняется». Если это утверждение неверно, переформулируйте его так, чтобы оно стало верным.

Ответ: Схема переходов между типами областей при изменении одного знака неравенства: треугольнаябоковая  угловаяпустое множество. Правильное утверждение: «при нечетном числе изменений знаков неравенств» тип определяемой системой бесконечной области меняется так, что боковые переходят либо в угловые, либо в треугольную, а угловые – либо в боковые, либо в пустое множество; а при четном – либо не меняется, либо угловые переходят в треугольную, а боковые в пустое множество».

Можно также предложить задания, переформулировав их для случаев трех прямых, проходящих через одну точку, двух параллельных прямых, пересекаемых третьей, трех параллельных прямых.

 

Задание 8.2. Задана комбинация знаков неравенств (например, все знаки – «больше»).

1.     Найдите такое положение прямых, при котором неравенства описывают ограниченную область.

2.     Найдите такое положение прямых, при котором неравенства описывают:

o        полуплоскость;

o        полосу.

3.     Найдите такое положение двух из трех прямых, при котором система неравенств не имеет решений при любом положении третьей прямой.

4.     Можно ли найти такое положение прямых, чтобы решением системы неравенств была вся плоскость? Ответ обоснуйте.

5.     Может ли система неравенств определять ровно одну точку плоскости? Ответ обоснуйте.

6.     Может ли система неравенств определять две непересекающиеся полуплоскости? Ответ обоснуйте.

Задание 8.3

1.     Опишите неравенствами область, ограниченную сторонами равнобедренного прямоугольного треугольника.

2.     Опишите неравенствами область, ограниченную сторонами равностороннего треугольника.

3.     Опишите неравенствами область, ограниченную сторонами прямоугольного треугольника с углом 30 градусов.

Замечание. Катет прямоугольного треугольника не может лежать на вертикальной прямой, т.к. вертикальная прямая не является графиком линейной функции.

Ответы:

1.     y < x,   y > 0,   y < 1 – x.

2.     y < x,   y > 0,   y <1 – x.

3.     y < x /,   y > 0,   y < 1 – x.

 

8. Задания студентам для самостоятельной работы.

1) Для решения указанных задач используйте описанный выше инструментарий рекомендуемых ЦОР. При этом можно использовать графический метод решения, предлагаемый в ЦОР.

; 

;

;

;

;

;

     

;

;

;

2) Изучите уроки по теме «Решение уравнений, неравенств и их систем», представленные в Интернет (www.ocito.kaluga.ru). Проведите анализ их целей, структуры и организации, содержания, методики проведения, работы учащихся, домашнего задания.

3) Разработайте сценарии фрагментов урока, использующие различные формы обучения разделу «Решение уравнений, неравенств и их систем» с использованием рассматриваемых ЦОР и проверить их приемлемость в своей группе:

·        фронтальные формы;

·        обучение в группе;

·        индивидуальные формы;

·        коллективные формы.

4) Разработайте один из уроков с рассматриваемыми ЦОР.

 

9. Контрольные вопросы, тесты, задания по теме занятия.

Используя инструментарий ЦОР [54] и модель «2.19 Решение неравенств» ЦОР «Открытая математика. Функции и графики 2.6», выполнить следующие задания

 

1) По заданному множеству решений построить неравенство.

A.   –2 < x < 1

B.    x < 0 или x > 3

C.   –3 < x < –1 или x > 1

D.   x > –2

E.    пустое множество

F.    все вещественные числа

2) Исследовать при каких положениях исходных прямых множество решений

A.   ограничено

B.    не ограничено ни сверху, ни снизу

C.   не ограничено с одной стороны и ограничено с другой

D.   состоит из одного полубесконечного промежутка

E.    пустое множество

F.    все вещественные числа

3) Сформулировать, как с помощью данного инструмента ЦОР [54] можно решать следующие типы неравенств:

A.   в числителе дроби – произведение линейных функций, в знаменателе – одна линейная функция, например (2x – 1)(x + 2)/(3x – 2) > 0

B.    функция в левой части неравенства – кубический многочлен, получаемый произведением трех линейных функций, например, (2x – 1)(x + 2)/(3x – 2) > 0

C.   дробно-линейное неравенство, например (3x + 1)/(2 – x) > 0

  1. квадратное неравенство, левая часть которого задана произведением линейных множителей, например (x – 1)(2x + 3) > 0

Кроме этого, можно предложить обучающимся выполнить следующие задания.

4) Используя возможности ЦОР [53], создать совокупность авторских уроков по методам решений уравнений и неравенств, недостаточно освященных в данных ЦОР.

5) Предложить педагогический сценарий для разработки ЦОР по основным методам решений уравнений и неравенств и их систем.

6) Предложить методику проведения телекоммуникационного проекта для формирования алгоритма решения иррациональных неравенств.

7) Используя сервисные возможности Интернета, сформировать информационно-справочный материал по образовательным ресурсам Интернет по данной теме.

Творческие индивидуальные задания:

8) Приведите пример дидактической игры, которая может быть проведена на современном уроке математики по разделу «Решение уравнений, неравенств и их систем». Представьте сценарий игры, в котором отразите основную цель и задачи ее проведения, деятельность учащихся и учителя, подведение итогов и методы оценки.

9) Опишите упражнение-проверку, которое можно проводить на современном уроке математики по разделу «Решение уравнений, неравенств и их систем» с использованием средств ИКТ (проверка памяти, внимания, логического мышления и т.п.).

10) Разработайте и проведите  практическое занятие по теме «Решение уравнений, неравенств и их систем» с привлечением средств ИКТ. Обоснуйте целесообразность применения отобранных вами средств обучения.

11) Опишите содержание обучения школьников при изучении одной из тем раздела «Решение уравнений, неравенств и их систем».

 12) Сформулируйте цели (обучающую, воспитательную, развивающую) конкретного урока по разделу «Решение уравнений, неравенств и их систем».

10. Рекомендации для преподавателей по проведению занятия (с обязательным указанием на инновационность целей, содержания, методов, форм и средств обучения)

Предлагаемый в рекомендованных ЦОР [53,54,66] материал позволяет реализовать инновационный характер целей, содержания, методов, форм и средств обучения.

Рассмотрим применение ЦОР[54] пункт «Системы линейных неравенств с двумя переменными».

Сначала необходимо остановиться на демонстрации графического решения системы неравенств с двумя переменными. Преподаватель располагает прямые, описанные в инструментарии, требуемым образом, задает систему неравенств, указывая знаки неравенств, включает детектор и показывает область решения. Использование инструмента позволяет в процессе объяснения менять знаки неравенств и положения прямых, попутно объясняя, как это влияет на область решения системы неравенств. Полезно обратить внимание на то, что, меняя знаки неравенств, можно получить восемь различных систем. В то же время три прямые делят плоскость максимум на 7 частей. Это означает, что по крайней мере одна из систем не будет иметь решений. В устной беседе можно предложить определить ту комбинацию знаков неравенства, при которой решения не будет, и дать логическое объяснение решению. Наоборот, можно задать комбинацию знаков неравенства, после чего предложить найти такое расположение прямых, при котором система не будет иметь решений.

Затем обучающиеся должны самостоятельно решить сопровождающие сюжет задачи. Выбор задачи осуществляется простым нажатием на кнопку с ее номером. После этого прямые и знаки неравенств автоматически принимают нужные положения, а учащийся должен найти заданную системой неравенств область. После того, как к ней будет подведен указатель, нажимается кнопка проверки решения, и над стрелкой появляется надпись «область решения неравенства», а при движении указателя его конец отмечает точки искомой области. Принципиально, что задачи здесь могут использоваться только для самоконтроля, при желании учащийся легко найдет искомую область, включив детектор и перемещая его по плоскости, пока он не «наткнется» на искомую область.

Кроме сопровождающих лабораторную работу задач, учитель имеет возможность предложить свои задачи. Так, он может предложить найти множество, удовлетворяющее системе из трех произвольно выбранных неравенств, например:

Учащийся перемещает прямые, наблюдая за их уравнениями, пока не получит выражения, стоящие в правой части неравенств, после чего выбирает правильные знаки неравенств. Далее он указывает область решения, как описано выше.

Наиболее эффективным способом использования инструмента являются исследовательские работы, рассматриваемые в данном [54]ЦОР.

Кроме того, при решении всех неравенств можно пользоваться ЦОР «Открытая математика. Функции и графики 2.6», в частности моделью «2.19 Решение неравенств». Там необходимо ввести в верхнее поле ввода неравенство в виде f (x) ? g (x), где знаком «?» помечена какая-либо из операций сравнения «<», «<=», «>», «>=», например, sin(x)>=2*exp(x). Затем нажать кнопку Enter или Решить. Подождать некоторое время. Будет построен график правой и левой частей уравнения, штриховкой по оси абсцисс будет отмечено решение. В нижней части модели выводятся приблизительные решения с точностью до 0,1. Чтобы ввести новое неравенство, необходимо нажать кнопку Сброс. При ошибочном вводе в нижнем окне появится соответствующее сообщение.

В зависимости от оснащенности класса компьютерами возможны следующие варианты использования электронных учебных материалов ЦОР «Математика 5-11». При наличии одного демонстрационного компьютера и средств проекции на экран, преподаватель излагает материал и организует дискуссию, проверяя выдвигаемые гипотезы немедленно с помощью инструмента.

Возможный ход занятия: Преподаватель задает нужное ему неравенство, меняя расположение прямых. Далее он обращает внимание на то, что только при переходе через корень линейной функции знак рационального неравенства может измениться. Вместе со студентами он анализирует комбинации знаков линейных функций на каждом промежутке между корнями, после чего располагает промежутки решений требуемым образом и включает детектор для проверки решения. Полезно проверить ошибочные гипотезы, выдвигаемые студентами, чтобы детектор обнаружил эти ошибки. Затем можно обсудить причины ошибок и устранить их. Далее преподаватель предлагает студентам опровергнуть тезис «знак рационального неравенства меняется при переходе через корни линейной функции». Вместе с учащимися строится комбинация прямых, когда у двух из них корни совпадают. Полезно перебрать все случаи совпадения корней линейных функций и решить соответствующие неравенства. При работе в компьютерном классе студенты сначала решают все задачи сюжета. Те, кто справился с этой работой, переходит к исследовательским работам, которые можно завершить бескомпьютерным домашним заданием, в котором надо теоретически обосновать экспериментально полученные результаты.

Каждый урок построен так, что может быть выполнен на отдельном занятии.

Урок состоит из нескольких частей:

Краткая аннотация.

Задание.

Пошаговая помощь.

Примеры выполнения.

Дополнительное задание.

Примеры выполнения дополнительного задания.

Демонстрация графического решения рационального неравенства

Преподаватель проводит занятие по объяснению метода интервалов, привлекая для объяснения сущности метода его графическую иллюстрацию для случая, когда числитель и знаменатель рациональной функции разлагаются на линейные множители. При этом, пользуясь инструментом, можно объяснить решение кубических, квадратных и других неравенств, сводящихся к исходному.

Обучающийся имеет возможность составить свои задачи. Так, он может построить новое рациональное неравенство описанного выше вида, сохранить его, а затем предложить для решения учащимся. Все встроенные в сюжет задачи при этом сохраняются.

 


ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ №  3

 

Тема: Методика использования ЦОР при решении задач начал анализа «Геометрический смысл производной. Уравнение касательной к графику функции», «Применение производной к исследованию функций».

Продолжительность 2 часа

 

1. Учебная и воспитательная цель.

Использовать ЦОР для логического упорядочивания  знаний по началам анализа в курсе математики средней школы с целью формирования элементов математической культуры, математического мышления, ИКТ-.компетенций будущего учителя. Разработать методику использования ЦОР по данной теме с целью совершенствования методической системы обучения математике. Обеспечить внутрипредметные и междисциплинарные связи между курсами математики и информатики. Сформировать прочные навыки решения задач по данной теме.

Приблизить содержание курса «Практикум по решению задач», используя рассматриваемый модуль, к современному содержанию курсов математики, учитывая ее прикладной и логический характер.

2. Краткие теоретические, справочно-информационные и т.п. материалы по теме занятия.

     Из ЦОР «Математика 5-11» ООО «Дрофа» (учебное электронное издание подготовлено при содействии НФПК)   предлагается рассмотреть следующий материал:

1.     Производная и ее применение.

a.      Определение производной. Геометрический смысл производной.

b.     Монотонность и экстремумы функции.

c.     Приложение производной.

d.     Наибольшее и наименьшее значения функции.

ЦОР предлагает новые возможности для усвоения курса математики. В его структуру входят: Основные сведения; Инструментарий; Упражнения; Результаты.

        Отличительной особенностью данного ЦОР является возможность создания авторских уроков, состоящих из разделов: «Общие сведения», «Инструментарий», «Упражнения» и «Результаты» по аналогии с существующими.

3. Перечень (образцы) раздаточного материала, используемого на занятии.

В качестве раздаточного материала каждому обучающемуся предлагается справочная информация по работе с ЦОР [53,66].

4. Перечень и краткое описание технических (программных) средств, необходимых для проведения занятий.

Наименование

Назначение

Характеристики

Примечание

[53] Электронное издание «Математика, 5-11 класс. Практикум» (ООО «Дрофа»)

Электронное средство поддержки и развития учебного процесса

1 CD

 

[54] Электронное издание «Математика, 5-11 класс» (ЗАО «1С»)

Электронное средство поддержки и развития учебного процесса

2 CD

 

[66] Открытая Математика 2.6. Функции и графики (ООО «Физикон»)

Электронное средство поддержки и развития учебного процесса

1 CD

 

5. Рекомендации студентам по подготовке к занятию с указанием литературы.

Электронный репетитор по математике: Учебное пособие. – 2-е изд., перераб. и доп. – Ставрополь: Изд-во СГУ, 1999. – 124 с. (Файлы 7,8. С. 43-54.).

Данное пособие содержит описание большого количества компьютерных программ учебного назначения и может быть использовано в качестве рабочей тетради при выполнении практических заданий, поскольку содержит по каждой теме рабочие поля для решений и ссылки с примерами из соответствующих ЦОР.

6. Рекомендации по использованию информационных технологий (при необходимости).

Наглядное представление о системе учебного материала темы дают специальные структурные блок-схемы, на которых учебный материал темы представляется в виде трех блоков: А, В, С.

Блок А - ранее изученный или подготовительный материал, используемый при изучении данной темы, блок В - теоретический материал, изучаемый в данной теме, блок С - закрепление изученного материала, контроль его усвоения и применение изученной теории. Блок В разбивается на три: В1 - основные понятия, предложения темы, В2 - не основной материал, В3 - вырабатываемый внутри данной темы аппарат, применяющийся на практике. Каждый из блоков представляет собой систему предложений, сгруппированных также в блоки.

Рассматриваемые блок-схемы можно интерпретировать как систематизированную программу деятельности на определенный период. Они могут быть использованы при организации повторения материала, необходимого для изучения темы, построении определений некоторых понятий, показе логической организации материала и выяснении возможностей более рациональной последовательности изучения материала, выяснении связи материала темы с другими темами учебного предмета.

Имея такую схему, учитель сможет выбрать определенные типы ЦОР для эффективного их использования в процессе обучения.

Рассмотрим сказанное на примере темы модуля "Нахождение промежутков монотонности функций" из школьного курса математики.

Прежде всего, отметим, какие методические цели реализуются с помощью соответствующих ЦОР. Это:

1) обучение;

2) сообщение информации, необходимой для учебной деятельности;

3) наглядная демонстрация учебного материала;

4) индивидуализация и дифференциация процесса обучения;

5) обеспечение возможности тренажера для знания поля клавиатуры;

6) расширение учебной среды;

7) осуществление контроля с обратной связью и оценкой результатов;

8) осуществление двойного резонанса обратной связи;

9) реализация диалога с компьютером на информационном и личностном уровнях.

Используя интуитивно-наглядные представления обучающихся об основных понятиях начал анализа и большие в этом плане педагогические возможности ПК, ЦОР знакомит учащихся с достаточным признаком возрастания и убывания функций. Работая с компьютерной программой учебного назначения, обучаемый шаг за шагом самостоятельно продвигается к поставленной педагогом цели. При этом ПК направляет действия обучаемого, подсказывает ему необходимую информацию, задает уточняющие вопросы и адекватно реагирует на ответы ученика. Тем самым компьютер приглашает ученика к активному общению, благодаря которому у обучаемых формируются нужные знания, умения и навыки.

На начальном этапе необходимо использовать интерактивную модель «Геометрический смысл производной» из ЦОР [54], раздел «Живая геометрия». Для этого необходимо войти в раздел «Кубическая функция. Секущая и касательная. Геометрический смысл производной». 

Для формирования понятия «геометрический смысл производной» в качестве теоретической части можно предложить изучение материала из  ЦОР [66] «Открытая Математика 2.6. Функции и графики (ООО «Физикон») (Глава 3. Дифференцирование и интегрирование функций, раздел 3.1.2. Геометрический смысл производной), а также изучение модели из этого же ЦОР 3.2. Касательная и нормаль.

Для изучения исследования функций при помощи производных можно использовать ЦОР [66] «Открытая математика» (глава 3. Дифференцирование и интегрирование функций, раздел 3.2. Исследование функций при помощи производных), а также изучение модели из этого же ЦОР 3.7. Мастер построения графиков.

Для текущего и итогового контроля по началам анализа можно использовать ЦОР [66] «Открытая математика» раздел «Система составления контрольных работ». Соответствующая программа предоставляет обучающемуся возможность составить из вопросов и задач курса собственный тест и прорешать его на компьютере. В первом окне вам предложат выбрать количество заданий по различным темам и их сложность. Отказаться от заданий по определенной теме или определенного типа можно, убрав выделение с соответствующего выключателя. Выставите нужные значения и нажмите кнопку «Начать тест». На каждое из заданий можно отвечать только 1 раз. Можно пропустить задание, нажав кнопку «Пропустить», но вернуться к этому заданию потом уже будет нельзя. После прохождения всех заданий вы сможете увидеть свои результаты как по каждому из заданий, так и по всей теме или всему тесту целиком.

Для формирования системы знаний по теме «Начала анализа» предлагается использовать ЦОР [53] «Электронное издание «Математика, 5-11 класс. Практикум» (ООО «Дрофа») , включающий раздел «Начала анализа 10-11 класс» (Геометрический смысл производной, Монотонность и экстремумы функций, Наибольшее и наименьшее значения функций), который предполагает 4 направления учебной деятельности: информационные сведения (раздел «Общие сведения»), изучение возможностей встроенного инструментария (раздел «Инструментарий»),  формирование практический умений (раздел «Упражнения»), статистическая оценка образовательной деятельности (раздел «Результаты»).

ЦОР [53] «Электронное издание «Математика, 5-11 класс. Практикум» (ООО «Дрофа»)  предоставляет возможность будущему учителю разработать собственный урок средствами программной оболочки.

 

7. Практические задачи, задания, упражнения.

1) Используя возможности ЦОР и телекоммуникационных систем,  предложить обучающимся выполнить следующий проект.

1. Разработайте содержание   блок-схемы, содержащей блоки А,В,С, в которых отражается методика использования рассматриваемых ЦОР для обучении началам анализа. Блок-схема должна содержать информацию по организации повторения материала, необходимого для изучения темы, построению определений некоторых понятий, показу логической организации материала и выяснению возможностей более рациональной последовательности изучения материала, выяснению связи материала темы с другими темами учебного предмета. Покажите, что такие схемы позволяют учителю выбрать определенные типы ЦОР для эффективного их использования в процессе обучения.

Совместный результат этого проекта оформить в виде информационно-образовательного ресурса и расположить на сайте лаборатории педпроектирования.

2) Выполните следующее задания:

1.                         Описать методику использования ЦОР [53,54,66] для решения задач по теме «Геометрический смысл производной». Провести сравнительный анализ эффективности использования данных ЦОР.

2.                         Описать интерактивные возможности модели «Геометрический смысл производной» из ЦОР [54]. Разработать иллюстративные примеры использования этой модели.

3.                         Разработать уроки по изучению модели «Мастер построения графиков» ЦОР [66].

4.                         Для текущего и итогового контроля по теме «Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции» составить систему контрольных заданий, используя ЦОР [66], раздел «Система составления контрольных работ».

5.                         Разработать методику составления авторских уроков по теме «Монотонность и экстремумы функций», используя инструментальные средства программной оболочки ЦОР [53].

6.                         Провести анализ полноты охвата ЦОРами [53,54,66] учебного материала по началам анализа школьного курса математики.

3) Используя интерактивные возможности ЦОР «1С: Школа. Математика 5-11 классы. Практикум»,  решить следующие задания:

1.   Дан график функции y = x3 – ax, зависящей от параметра a, пробегающего интервал от –3 до 3. Проследите за изменением графика при вариации параметра. Определите, при каких значениях a функция:

o      имеет экстремумы;

o      монотонна;

o      имеет «стационарные» точки (т.е. точки, в которых производная функции обращается в 0).

2.   Используя точку M на графике и ее проекции на ось координат, определите приближенно:

o      корни функции при a = 3;

o      точки и значения экстремумов функции при a = 2.

3.   Двигая по графику функции y = x3 + 3x точки, в которых его пересекает секущая, найдите угловой коэффициент секущей в случае, когда эти точки находятся вблизи от начала координат.

4.   Выберите любое значение a, например, a = 1 или 2, и постройте касательную к графику функции f (x) = x3 – ax в точке M как предельное положение секущей. Для этого расположите точки, определяющие секущую, по разные стороны от M настолько близко, насколько позволяет разрешение экрана. Обратите внимание на то, что тангенс угла наклона секущей в процессе сближения точек изменяется все слабее, а с некоторого момента перестает меняться. С этого момента и можно считать, что с достижимой точностью секущая совпала с касательной к графику в точке M. Угловой коэффициент касательной к графику функции y = f (x) в точке M с координатами (x; f(x)) равен значению производной функции f '(x).

5.   Составьте таблицу производной y =f '(x), вычисляя угловой коэффициент касательной для разных значений x. Для этого выделите значения x и tg q в указанном порядке и начните построение таблицы с заданными входами (команда «Таблица» меню «Измерение»). Затем передвиньте проекцию точки M по оси абсцисс (вместе с ней переместятся точка M и близкие к ней точки, определяющие секущую; перемещать удобно клавишами со стрелками при нажатой клавише <Shift>), выделите таблицу и дайте команду «Добавить ячейку». После того, как в таблицу будет занесено достаточно большое число значений (8–10), выделите таблицу и выполните команду «Нанести табличные данные».

9. Контрольные вопросы, тесты, задания по теме занятия:

1) Используя сервисные возможности Интернет, подберите теоретические и практические вопросы по началам анализа, оформив их в виде рефератов. Особое внимание обратите на решение текстовых задач на нахождение наибольшего и наименьшего значений функции.

2) Используя возможности ЦОР [53] разработайте систему авторских уроков по рассматриваемому разделу, состоящие из разделов «Основные сведения», «Инструментарий», «Упражнения», «Результаты».

3) Перечислите компьютерные модели из предложенных ЦОР, необходимые для изучения данной теме.

4) Опишите алгоритм доступа к используемым моделям и продемонстрируйте свое умение работать с ними. Укажите на возможные трудности.

5) Разработайте совокупность уроков для решения задач по началам анализа с использованием рассматриваемых ЦОР и ответьте на вопросы:

- какие формы обучения использовались на каждом из них; есть ли преимущества этих форм перед традиционными?

- какие методы обучения использовались на каждом из этапов урока; есть ли преимущества этих методов перед традиционными?

- как бы был построен каждый этап урока, не имея возможности использовать компьютер?

- как бы был построен каждый этап урока, имея компьютер и полный набор ЦОР [53,54,66]?

10. Рекомендации для преподавателей по проведению занятия (с обязательным указанием на инновационность целей, содержания, методов, форм и средств обучения).

  Приведем инновационное содержание учебного материала в ЦОР[53] по теме «Производная и ее применение».

Сначала обучающихся знакомим с разделом «Основные сведения» (ниже на иллюстрации это рассматривается на примере подраздела «Определение производной. Механический и геометрический смысл производной»):

Затем переходим к изучению раздела «Инструментарий», который позволяет использовать различные построения и вычисления при решении задач:

 

 

 

После этого предлагается выполнить следующие упражнения с использованием инструментария:

 

 

 

 

При этом необходимо иметь ввиду, что по нажатию стрелки после номера задачи появляется соответствующее окно решения, где, используя основные возможности построений и вычислений предложенного инструментария, следует получить графическое или численное решение. После этого надо занести решение в поле ввода результата и убедиться в правильности ответов. (Неправильные ответы будут выделены красным цветом).

В разделе «Результаты» обучающийся может просмотреть статистику выполнения предложенных упражнений. При этом он получит данные о времени и попытках, затраченных на решение каждой задачи, а также совокупность оценок по ним:

 

 

 

Аналогичную работу можно провести и для других разделов темы «Производная и ее применение».

Отличительной особенностью данного ЦОР является возможность создания авторских уроков, состоящих из разделов: «Общие сведения», «Инструментарий», «Упражнения» и «Результаты» по аналогии с существующими.