Задача No. 52459

Дан угол с вершиной O и окружность, касающаяся его сторон в точках A и B. Из точки A параллельно OB проведён луч, пересекающий окружность в точке C. OC пересекает окружность в точке E. Прямые AE и OB пересекаются в точке K. Докажите, что OK = KB.

Скрыть решение

Подсказка

Треугольник KOA подобен треугольнику KEO.

Решение

Треугольники KOA и KEO подобны по двум углам ( $\angle$ EOK = $\angle$ ACE = $\angle$ OAK). Поэтому ${\frac{KE}{OK}}$ = ${\frac{OK}{AK}}$ . Отсюда следует, что OK² = EK^.AK. С другой стороны, по теореме о касательной и секущей EK^.AK = KB². Следовательно, OK = KB.

Условие

Подсказка

Решение