Задача No. 52435

Окружность радиуса R проходит через вершины A и B треугольника ABC и касается прямой AC в точке A. Найдите площадь треугольника ABC, зная, что $\angle$ ABC = $\beta$ , $\angle$ CAB = $\alpha$ .

Скрыть решение

Подсказка

Сторона AB видна из центра окружности под углом 2 $\alpha$ или 360^o - 2 $\alpha$ .

Решение

Сторона AB видна из центра окружности под углом 2 $\alpha$ или 360^o - 2 $\alpha$ . Поэтому AB = 2R sin $\alpha$ . Из треугольника ABC по теореме синусов находим, что

AC = $\displaystyle {\frac{AB\sin \beta}{\sin (180^{\circ } - \alpha - \beta)}}$ = $\displaystyle {\frac{AB\sin \beta}{\sin (\alpha + \beta)}}$ = $\displaystyle {\frac{2R\sin \alpha \sin \beta}{\sin (\alpha + \beta)}}$ .

Следовательно,

S_ABC = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ AB^.AC sin $\displaystyle \alpha$ = $\displaystyle {\frac{2R^{2}\sin ^{3}\alpha \sin \beta}{\sin ( \alpha + \beta)}}$ .

Ответ

${\frac{2R^{2}\sin ^{3}\alpha \sin \beta}{\sin (\alpha +\beta)}}$ .

Условие

Подсказка

Решение

Ответ