Задача No. 52408

Пятиугольник ABCDE вписан в окружность. Расстояния от точки A до прямых BC, DC и DE равны соответственно a, b и c. Найдите расстояние от вершины A до прямой BE.

Скрыть решение

Подсказка

Пусть A₁, A₂, A₃, A₄ — основания перпендикуляров, опущенных из точки A на прямые BC, DC, DE и BE соответственно. Тогда треугольник AA₁A₄ подобен треугольнику AA₂A₃.

Решение

Пусть A₁, A₂, A₃, A₄ — основания перпендикуляров, опущенных из точки A на прямые BC, DC, DE и BE соответственно. Докажем, что треугольник AA₁A₄ подобен треугольнику AA₂A₃.

Действительно,

$\displaystyle \angle$ A₁AA₄ = 180^o - $\displaystyle \angle$ A₁BA₄ = $\displaystyle \angle$ CBE = 180^o - $\displaystyle \angle$ CDE = $\displaystyle \angle$ A₂AA₃.

Точки A₁ и A₄ лежат на окружности с диаметром AB, а точки A₂ и A₃ — на окружности с диаметром AD. Поэтому

$\displaystyle \angle$ AA₁A₄ = $\displaystyle \angle$ ABE = $\displaystyle \angle$ ADE = $\displaystyle \angle$ AA₂A₃.

Из доказанного следует, что ${\frac{AA_{1}}{AA_{2}}}$ = ${\frac{AA_{4}}{AA_{3}}}$ . Отсюда находим, что

AA₄ = AA₁^. $\displaystyle {\frac{AA_{3}}{AA_{2}}}$ = $\displaystyle {\frac{ac}{b}}$ .

Действительно,

$\displaystyle \angle$ A₁AA₄ = 180^o - $\displaystyle \angle$ A₁BA₄ = $\displaystyle \angle$ CBE = 180^o - $\displaystyle \angle$ CDE = $\displaystyle \angle$ A₂AA₃.

Точки A₁ и A₄ лежат на окружности с диаметром AB, а точки A₂ и A₃ — на окружности с диаметром AD. Поэтому

$\displaystyle \angle$ AA₁A₄ = $\displaystyle \angle$ ABE = $\displaystyle \angle$ ADE = $\displaystyle \angle$ AA₂A₃.

Из доказанного следует, что ${\frac{AA_{1}}{AA_{2}}}$ = ${\frac{AA_{4}}{AA_{3}}}$ . Отсюда находим, что

AA₄ = AA₁^. $\displaystyle {\frac{AA_{3}}{AA_{2}}}$ = $\displaystyle {\frac{ac}{b}}$ .

Действительно,

$\displaystyle \angle$ A₁AA₄ = 180^o - $\displaystyle \angle$ A₁BA₄ = $\displaystyle \angle$ CBE = 180^o - $\displaystyle \angle$ CDE = $\displaystyle \angle$ A₂AA₃.

Точки A₁ и A₄ лежат на окружности с диаметром AB, а точки A₂ и A₃ — на окружности с диаметром AD. Поэтому

$\displaystyle \angle$ AA₁A₄ = $\displaystyle \angle$ ABE = $\displaystyle \angle$ ADE = $\displaystyle \angle$ AA₂A₃.

Из доказанного следует, что ${\frac{AA_{1}}{AA_{2}}}$ = ${\frac{AA_{4}}{AA_{3}}}$ . Отсюда находим, что

AA₄ = AA₁^. $\displaystyle {\frac{AA_{3}}{AA_{2}}}$ = $\displaystyle {\frac{ac}{b}}$ .

Ответ

${\frac{ac}{b}}$ .

Условие

Подсказка

Решение

Ответ