Задача No. 52405

В треугольнике ABC даны углы B и C. Биссектриса внутреннего угла BAC пересекает сторону BC в точке D, а окружность, описанную около треугольника ABC, — в точке E. Найдите отношение AE : DE.

Скрыть решение

Подсказка

Докажите, что треугольник BDE подобен треугольнику ABE. Примените формулу a = 2R sin $\alpha$ .

Решение

Поскольку

$\displaystyle \angle$ DBE = $\displaystyle \angle$ CBE = $\displaystyle \angle$ CAE = $\displaystyle \angle$ BAE,

то треугольник BDE подобен треугольнику ABE. Тогда

$\displaystyle {\frac{DE}{BE}}$ = $\displaystyle {\frac{BE}{AE}}$ , DE = $\displaystyle {\frac{BE^{2}}{AE}}$ .

Пусть R — радиус окружности. По формуле a = 2R sin $\alpha$ выразим отрезки AE и BE через R, $\angle$ B и $\angle$ C:

AE = 2R sin $\displaystyle \angle$ ABE = 2R sin $\displaystyle \left(\vphantom{B + \frac{1}{2} A}\right.$ B + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ A $\displaystyle \left.\vphantom{B + \frac{1}{2} A}\right)$ =

= 2R sin $\displaystyle \left(\vphantom{B + 90^{\circ}-\frac{1}{2}B - \frac{1}{2}C}\right.$ B + 90^o - $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ B - $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ C $\displaystyle \left.\vphantom{B + 90^{\circ}-\frac{1}{2}B - \frac{1}{2}C}\right)$ = 2R cos $\displaystyle \left(\vphantom{\frac{1}{2}C - \frac{1}{2}B}\right.$ $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ C - $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ B $\displaystyle \left.\vphantom{\frac{1}{2}C - \frac{1}{2}B}\right)$ ,

BE = 2R sin $\displaystyle \angle$ BAE = 2R sin $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ A =

= 2R sin $\displaystyle \left(\vphantom{90^{\circ} - \frac{1}{2} B - \frac{1}{2}C}\right.$ 90^o - $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ B - $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ C $\displaystyle \left.\vphantom{90^{\circ} - \frac{1}{2} B - \frac{1}{2}C}\right)$ = 2R cos $\displaystyle \left(\vphantom{\frac{1}{2} C + \frac{1}{2} B}\right.$ $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ C + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ B $\displaystyle \left.\vphantom{\frac{1}{2} C + \frac{1}{2} B}\right)$ .

Следовательно,

$\displaystyle {\frac{AE}{DE}}$ = $\displaystyle {\frac{AE^{2}}{BE^{2}}}$ = $\displaystyle {\frac{\cos ^{2} \left( \frac{1}{2} C - \frac{1}{2} B\right)}{\cos ^{2} \left(\frac{1}{2} C + \frac{1}{2} B\right)}}$ .

Ответ

${\frac{\cos^{2} \frac{C - B}{2}}{\cos^{2} \frac{C + B}{2}}}$ .

Условие

Подсказка

Решение

Ответ