Урок 3.8 Решение уравнений и неравенств относительно параметра

Пример 1

Найти все значения x, удовлетворяющие неравенству (a + 2)x3 – (1 + 2a)x2 – 6x + (a2 + 4a – 5) > 0 хотя бы при одном значении a, принадлежащем отрезку [–2; 1].

Решение

Перепишем заданное в условии неравенство по степеням параметра a в следующем виде:
a2 + (x3 – 2x2 + 4)a + (2x3x2 – 6x – 5) > 0
Переформулируем задачу. Найти необходимые и достаточные условия, при выполнении которых квадратный трехчлен f(a) = a2 + p(x)a + q(x) с коэффициентами p(x) = x3 – 2x2 + 4 и
q(x) = 2x3x2 – 6x – 5 положителен хотя бы в одной точке отрезка [–2; 1].
Ясно, что для этого достаточно выполнения совокупности условий: , (1)
ведь тогда функция f(a) уже будет положительной в точке –2 или в точке 1.
Если же , то, поскольку графиком функции f(a) является парабола с направленными вверх ветвями, то неравенство f(a) ≤ 0 останется верным для всех значений a из [–2; 1], поэтому условия (1) являются и необходимыми. Решим совокупность неравенств (1): .
Объединим решения отдельных неравенств на одной числовой оси:

Ответ

 

ИИСС "Алгебраические задачи с параметрами"