Задача No. 52375

В окружность вписан четырёхугольник ABCD, диагонали которого взаимно перпендикулярны и пересекаются в точке E. Прямая, проходящая через точку E и перпендикулярная к AB, пересекает сторону CD в точке M. Докажите, что EM — медиана треугольника CED и найдите её длину, если AD = 8, AB = 4 и $\angle$ CDB = $\alpha$ .

Скрыть решение

Подсказка

Докажите, что треугольник EMD — равнобедренный.

Решение

Пусть K — точка пересечения прямой EM с отрезком AB. Поскольку $\angle$ BAC = $\angle$ BDC, то

$\displaystyle \angle$ DEM = $\displaystyle \angle$ BEK = $\displaystyle \angle$ BAC = $\displaystyle \angle$ CDE,

а так как

$\displaystyle \angle$ ACD = $\displaystyle \angle$ ABD = $\displaystyle \angle$ ABE = $\displaystyle \angle$ AEK = $\displaystyle \angle$ MEC,

то DM = ME = MC. Следовательно, EM — медиана треугольника CED.

По теореме Пифагора из треугольника AED находим, что

DE² = AD² - AE² = AD² - AB^{2 .}cos² $\displaystyle \angle$ BAC = 64 - 16 cos² $\displaystyle \alpha$ .

Следовательно,

EM = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ DC = $\displaystyle {\frac{DE}{2\cos \angle CDE}}$ = $\displaystyle {\frac{4\sqrt{4 - \cos ^{2}\alpha}}{2\cos \alpha}}$ =

= $\displaystyle {\frac{2\sqrt{4 - \cos ^{2}\alpha}}{\cos \alpha}}$ .

Ответ

${\frac{2\sqrt{4 - \cos^{2}\alpha}}{\cos \alpha }}$ .

Условие

Подсказка

Решение

Ответ