Условие
В окружность вписан четырёхугольник ABCD, диагонали
которого взаимно перпендикулярны и пересекаются в точке E.
Прямая, проходящая через точку E и перпендикулярная к AB,
пересекает сторону CD в точке M. Докажите, что EM — медиана
треугольника CED и найдите её длину, если AD = 8, AB = 4 и
CDB =
.
Скрыть решение
Подсказка
Докажите, что треугольник EMD — равнобедренный.
Решение
Пусть K — точка пересечения прямой EM с отрезком AB.
Поскольку
BAC =
BDC, то
а так как
ACD =
ABD =
ABE =
AEK =
MEC,
то
DM =
ME =
MC. Следовательно,
EM — медиана треугольника
CED.
По теореме Пифагора из треугольника AED находим, что
DE2 =
AD2 -
AE2 =
AD2 -
AB2 . cos
2
BAC = 64 - 16 cos
2
.
Следовательно,
=

.
Ответ
.