Уроки 41–42. Выигрышные стратегии в игре Камешки

Материалы к урокам: лист определений «Выигрышные стратегии в игре в Камешки», бумажные задачи 23–30 (2 часть), занятия 13 и 14 на Клавиатурном тренажере.

На каждом из уроков по данной теме работа с бумажным учебником интегрируется с работой на клавиатурном тренажере.

Выигрышные стратегии в игре в Камешки

Работая с предыдущей темой, ребята анализировали в основном отдельные позиции игры в Камешки (и ходы, приводящие к ним). Теперь настало время проанализировать ход игры в целом. Перекидным мостиком между двумя этими темами является понятие разумной партии (разумных ходов). Мы уже выяснили, что в разумной партии каждый игрок должен стараться следовать общему правилу – всегда оставлять противнику проигрышную позицию. В ходе решения задач ребята могли заметить, что в одной партии в Камешки только один из игроков может следовать этому правилу – тот, кто первым может занять выигрышную позицию. Теперь мы будем говорить, что такой игрок имеет выигрышную стратегию. Если он будет ей следовать, а, значит, делать только разумные ходы и оставлять противнику только проигрышные позиции, то выиграет при любой игре противника.

Итак, если игрок, имеющий выигрышную стратегию, будет ей следовать, то все возможные такие партии будут только разумными. Если начальная позиция выигрышная, то выигрышную стратегию имеет Первый, если проигрышная – Второй. Изложенное общее правило выигрыша – стараться оставлять противнику проигрышную позицию (оно верно для любой игры, где позиции можно разделить на выигрышные и проигрышные) в каждой игре в Камешки реализуется по-разному. Раскраска клеток числовой линейки определяет как игрока, обладающего выигрышной стратегией, так и его ходы (следование выигрышной стратегии). Правило выигрыша может быть сформулировано либо в виде последовательности ходов, которые должен делать игрок, либо в виде правила о том, какие позиции должен оставлять противнику данный игрок (если проигрышные позиции подчиняются некой общей закономерности). В следующих за данным листом определений задачах ребятам предстоит формулировать выигрышные стратегии пошагово – в виде последовательности ходов.

Решение бумажных задач

Задача 23. Первое, что ребята должны понять, изучая данный материал, что выигрышная стратегия действительно помогает выиграть одному из игроков и нужно научиться ей следовать. Именно поэтому мы начинаем серию задач на эту тему с маленького соревнования. Разрешенные ходы игры такие же, как на листе определений (1, 3 и 4 камешка). Для следования выигрышной стратегии ребята используют раскрашенную числовую линейку с листа определений, поэтому лучше посоветовать им не выбирать начальную позицию больше 15. Первое, что говорит о понимании ребятами материала листа определений: Первый выбирает в качестве начальной позиции выигрышную. В противном случае учащемуся надо посоветовать еще раз прочитать материал листа определений. Второе условие правильного выполнения задания – все сыгранные партии должны быть разумными, т. е. в цепочке партии все позиции, получающиеся после ходов Первого, – проигрышные. Чтобы вам легче было проверить соблюдение этих двух условий, попросите ребят записывать на черновике цепочки всех сыгранных партий. Если в каждой партии Первый действительно следует выигрышной стратегии, то оба утверждения в рамках должны быть истинными. С теми парами учащихся, у которых так не получилось, можно порассуждать вместе. На эту задачу не стоит жалеть времени, так как она является важным шагом при переходе от формального анализа отдельных позиций к содержательному анализу реальной игры.

Задача 24. Первое задание, надеемся, не вызовет у ребят затруднений. Вот раскрашенная числовая линейка:


В ходе выполнения второго задания учащиеся должны описать выигрышную стратегию для Первого пошагово, т. е. указать, какой он должен сделать первый ход и какие ходы он должен делать дальше в зависимости от ходов Второго. При этом ребята должны понимать, что Первый может выбирать только свои ходы, но не ходы противника, поэтому для любого хода Второго он должен уметь выбрать свой разумный ход (оставляющий противнику проигрышную позицию). Так, в начальной позиции Первый должен взять 2 камешка, чтобы оставить противнику проигрышную позицию 6. В результате следующего своего хода Первый должен оставить противнику проигрышную позицию 3 и, наконец, в результате дальнейшего своего хода забрать все оставшиеся камешки и выиграть. Чтобы ребятам не пришлось долго думать над словесными формулировками, мы приводим шаблон пошагового описания выигрышной стратегии Первого, где необходимо лишь заполнить окна. При этом мы описываем, что должно (или может) происходить на каждом шаге игры.
Ответ:
Ход 1. Первый должен взять 2, тогда останется 6.
Ход 2. Второй может взять 1, тогда останется 5, или может взять 2, тогда останется 4.
Ход 3. Первый должен взять столько камешков, чтобы осталось 3.
Ход 4. Второй может взять 1, тогда останется 2, или может взять 2, тогда останется 1.
Ход 5. Первый забирает все оставшиеся камешки и выигрывает.

Задача 25. Необязательная. Задача на повторение темы «Дерево вычислений». Как видите, данное арифметическое выражение по структуре довольно сложное, поэтому можно посоветовать ребятам вначале работать карандашом. Кроме того, лучше не стараться записать весь пример сразу, а сначала записать примеры, соответствующие веткам с корневыми бусинами 40 и 20 (третьего уровня) и 34 (второго уровня), а затем составить искомый пример.
Ответ: (17•2)•((4+20+64:4) : (22 – (37 – 35))).

Задача 26. Единственное отличие данной задачи от задачи 24 состоит в том, что выигрышная стратегия здесь имеется у Второго. Вот раскрашенная числовая линейка:


Ответ:
Ход 1. Первый может взять 1, 2 или 3 камешка, тогда останется 7, 6 или 5 камешков.
Ход 2. Второй должен взять столько камешков, чтобы осталось 4.
Ход 3. Первый может взять 1, 2 или 3 камешка, тогда останется 3, 2 или 1 камешек.
Ход 4. Второй забирает все оставшиеся камешки и выигрывает.

Задача 27. Здесь ребята вспоминают тему «Конструкция повторения» и ситуацию вложенного цикла.
Ответ:


Задача 28. Необязательная. Как и в других задачах на разрезание, здесь поможет подсчет клеток в каждой из четырех частей. Облегчает решение и то, что четыре клетки, имеющие по три общие стороны с границей фигуры, явно принадлежат разным частям. Кроме того, каждая из таких клеток входит в одну часть вместе с соседней. Теперь мы имеем пару клеток, входящих в каждую часть. Осталось присоединить к полученной паре еще три клетки из числа соседних, чтобы получить форму каждой части. Заметим, что сделать это можно по-разному.
Ответ:


Задача 29. Необязательная. Построение дерева игры Камешки – задание для ребят уже знакомое. При ответе на вопрос, возможно, кто-то из учащихся вспомнит задачу 19. Если в задаче 19 учащийся исходил из соображений четности-нечетности позиций, то здесь он сразу сообразит, что Первый не сможет выиграть никогда (ведь после любого хода Первого позиция нечетная). Если же учащийся в задаче 19 использовал раскрашенную числовую линейку или вообще не решал данную задачу, то при ответе на последний вопрос этой задачи он, конечно, постарается использовать построенное дерево А. Действительно, пометив все уровни дерева значками I и II в зависимости от того, в результате хода кого из игроков была получена данная позиция, мы видим, что в дереве А нет заключительных позиций, находящихся на уровнях, помеченных значком I. Это означает, что в такой игре нет ни одной партии, закончившейся выигрышем Первого игрока.
Ответ:


Задача 30. Необязательная. Задача эта несложная, нужно только хорошо понять все четыре утверждения в условии.
Ответов здесь может быть много. Кому-то из ребят, возможно, захочется, чтобы в каждой «ветке» дерева получились осмысленные слова, например, так:


Похвалите таких учащихся за внимание к языку. Однако требовать этого от всех, конечно, не нужно. Как обычно, решение подобных задач всегда должно заканчиваться проверкой выполнения всех условий.