Решение
Пусть A , B и C – последовательные вершины четырёхугольника ABCD , внутренние углы при которых равны 45o . Обозначим через P точку пересечения прямых AD и BC . Докажем, что отрезки BD и AC равны и перпендикулярны. Треугольник ABP – прямоугольный и равнобедренный, т.к. его углы при вершинах A и B равны по 45o . Значит, AP=BP и
BPA = 90o .
Треугольник DPC – также равнобедренный и прямоугольный, поэтому DP=PC .
Прямоугольные треугольники APC и BPD равны по двум катетам. Один из них получается
из другого поворотом на угол 90o относительно точки P . Следовательно,
отрезки BD и AC равны и перпендикулярны.
Середины сторон любого четырёхугольника являются вершинами параллелограмма,
противоположные стороны которого соответственно параллельны диагоналям четырёхугольника
и равны их половинам. Диагонали данного четырёхугольника равны и перпендикулярны.
Следовательно, четырёхугольник с вершинами в серединах его сторон – квадрат.
(Решение Н.Васильева.)
