Скрыть решение
Решение
Пусть
A ,
B и
C – последовательные вершины четырёхугольника
ABCD , внутренние
углы при которых равны
45
o . Обозначим через
P точку пересечения прямых
AD и
BC .
Докажем, что отрезки
BD и
AC равны и перпендикулярны. Треугольник
ABP – прямоугольный
и равнобедренный, т.к. его углы при вершинах
A и
B равны по
45
o . Значит,
AP=BP и
BPA = 90
o .
Треугольник
DPC – также равнобедренный и прямоугольный, поэтому
DP=PC .
Прямоугольные треугольники
APC и
BPD равны по двум катетам. Один из них получается
из другого поворотом на угол
90
o относительно точки
P . Следовательно,
отрезки
BD и
AC равны и перпендикулярны.
Середины сторон любого четырёхугольника являются вершинами параллелограмма,
противоположные стороны которого соответственно параллельны диагоналям четырёхугольника
и равны их половинам. Диагонали данного четырёхугольника равны и перпендикулярны.
Следовательно, четырёхугольник с вершинами в серединах его сторон – квадрат.
(Решение Н.Васильева.)