Урок 1.12 Обратные тригонометрические функции в уравнениях с параметром

Пример 3

Решить при всех a уравнение arcsin ax + 2arccos x = p /2.

Решение

Вычитая из обеих частей уравнения 2arccos x, получим arcsin ax = p /22arccos x.
Из оценок и уравнения arccos ax = p – arcsin x следует, что , или . Значит, получаем 0 ≤ x ≤ 1.
Из определения arcsin ax следует –1 ≤ ax ≤ 1.
Так как функция y = sin t возрастает на отрезке , то исходное уравнение эквивалентно при ограничениях 0 ≤ x ≤ 1 и –1 ≤ ax ≤ 1.
Замечая и , получим, что задача сводится к нахождению решений уравнения ax = 2x2 – 1, удовлетворяющих неравенствам 0 ≤ x ≤ 1 и –1 ≤ ax ≤ 1.
Вычитая из обеих частей уравнения 2x2 – 1 и умножая на –1, находим 2x2ax –1 =0.
Так как дискриминант D = a2 + 8 положительный, то уравнение имеет два решения: . Учитывая x ≥ 0 и , подходит только второе решение .
Из равенств следует . Остается проверить ограничение –1 ≤ ax ≤ 1. Получаем . Так как , то , или .
Неравенство влечет , или .

Случай 1: a ≥ 0

 

Случай 2: a < 0

 

  Случай 2а: a ≥ –1

 

  Случай 2б a < –1

 

Ответ

 

ИИСС "Алгебраические задачи с параметрами"