Задача No. 108460

Пусть Q — центр вписанной окружности треугольника ABC, прямая AQ пересекает описанную окружность треугольника ABC в точке D. Выразите отрезки AQ и QD через R, r и $\alpha$ , где R и r -- радиусы соответствено описанной и вписанной окружностей треугольника ABC, а $\alpha$ = $\angle$ BAC.

Скрыть решение

Подсказка

Докажите, что QD = BD.

Решение

Докажем сначала, что QD = BD. Действительно, угол BQD — внешний угол треугольника AQB, поэтому

$\displaystyle \angle$ BQD = $\displaystyle \angle$ BAQ + ABQ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ $\displaystyle \angle$ A + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ $\displaystyle \angle$ B = $\displaystyle \angle$ CBD + $\displaystyle \angle$ QBC = $\displaystyle \angle$ QBD.

Значит, треугольник BDQ — равнобедренный и BD = QD. Следовательно,

QD = BD = 2R sin $\displaystyle \angle$ BAD = 2R sin $\displaystyle {\frac{\alpha}{2}}$ .

Пусть теперь M — проекция точки Q на AB. Тогда QM = r. Из прямоугольного треугольника AMQ находим, что

AQ = $\displaystyle {\frac{QM}{\sin \angle MAQ}}$ = $\displaystyle {\frac{r}{\sin \frac{\alpha}{2}}}$ .

Ответ

${\frac{r}{\sin \frac{\alpha}{2}}}$ , 2R sin ${\frac{\alpha}{2}}$ .

Условие

Подсказка

Решение

Ответ