Задача No. 108459

Пусть Q — центр вписанной окружности треугольника ABC. Докажите, что центры описанных окружностей треугольников AQB, BQC и AQC лежат на описанной окружности треугольника ABC.

Скрыть решение

Подсказка

Пусть O — центр описанной окружности треугольника BQC. Докажите, что $\angle$ BOC = 180^o - $\angle$ BAC.

Решение

Первый способ.

Пусть O — центр описанной окружности треугольника BQC. Поскольку

$\displaystyle \angle$ BQC = 90^o + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ $\displaystyle \angle$ BAC

(угол между биссектрисами двух внутренних углов треугольника), то

$\displaystyle \angle$ BOC = 360^o - 2 $\displaystyle \angle$ BQC = 360^o - 2 $\displaystyle \left(\vphantom{90^{\circ} + \frac{1}{2}\angle BAC}\right.$ 90^o + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ $\displaystyle \angle$ BAC $\displaystyle \left.\vphantom{90^{\circ} + \frac{1}{2}\angle BAC}\right)$ = 180^o - $\displaystyle \angle$ BAC.

Следовательно, точка O лежит на окружности, проходящей через точки A, B и C, т.е. на описанной окружности треугольника ABC. Аналогично для центров описанных окружностей треугольников AQB и AQC.

Второй способ.

Пусть прямая AQ пересекает описанную окружность треугольника ABC и точке D. Докажем, что QD = BD = CD.

Действительно, угол BQD — внешний угол треугольника AQB, поэтому

$\displaystyle \angle$ BQD = $\displaystyle \angle$ BAQ + ABQ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ $\displaystyle \angle$ BAC2 + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ $\displaystyle \angle$ ABC = $\displaystyle \angle$ CBD + QBC = $\displaystyle \angle$ QBD.

Значит, треугольник BDQ — равнобедренный и BD = QD. Аналогично CD = QD.

Поскольку QD = BD = CD, то точка D, расположенная на описанной окружности треугольника ABC, является центром окружности, проходящей через точки B, Q, C.

Аналогично для треугольников AQB и AQC.

Условие

Подсказка

Решение