Скрыть решение
Подсказка
Пусть O — центр описанной окружности треугольника BQC.
Докажите, что
BOC = 180o -
BAC.
Решение
Первый способ.
Пусть O — центр описанной окружности треугольника BQC.
Поскольку
(угол между биссектрисами двух внутренних углов треугольника), то
BOC = 360
o - 2
BQC = 360
o - 2

90
o +

BAC
= 180
o -
BAC.
Следовательно, точка
O лежит на окружности, проходящей через точки
A,
B и
C, т.е. на описанной окружности треугольника
ABC.
Аналогично для центров описанных окружностей треугольников
AQB и
AQC.
Второй способ.
Пусть прямая AQ пересекает описанную окружность треугольника
ABC и точке D. Докажем, что
QD = BD = CD.
Действительно, угол BQD — внешний угол треугольника AQB,
поэтому
BQD =
BAQ +
ABQ =

BAC2 +

ABC =
CBD +
QBC =
QBD.
Значит, треугольник
BDQ — равнобедренный и
BD =
QD.
Аналогично
CD =
QD.
Поскольку
QD = BD = CD, то точка D, расположенная на описанной
окружности треугольника ABC, является центром окружности,
проходящей через точки B, Q, C.
Аналогично для треугольников AQB и AQC.