Задача No. 108453

Найдите периметр четырёхугольника ABCD, в котором AB = CD = a, $\angle$ BAD = $\angle$ BCD = $\alpha$ < 90^o, BC $\ne$ AD.

Примените теорему косинусов.

Обозначим AD = x, BC = y. По теореме косинусов из треугольников ABD и CBD находим, что

BD² = a² + x² - 2ax cos $\displaystyle \alpha$ , BD² = a² + y² - 2ay cos $\displaystyle \alpha$ ,

поэтому

a² + x² - 2ax cos $\displaystyle \alpha$ = a² + y² - 2ay cos $\displaystyle \alpha$ .

Тогда

x² - y² = 2a(x - y)cos $\displaystyle \alpha$ ,

а т.к. x $\ne$ y, то x + y = 2a cos $\alpha$ . Следовательно,

AB + CD + AD + BC = a + a + x + y = 2a + 2a cos $\displaystyle \alpha$ = 2a(1 + cos $\displaystyle \alpha$ ).

2a(1 + cos $\alpha$ ).