Решение
Рассмотрим случай, когда точки N и M лежат на сторонах ромба. Остальные случаи рассматриваются аналогично. Обозначим
BAC = 
BCA = a . Пусть окружности,
описанные около равнобедренных треугольников ANE и CME
пересекаются в точке K1 , отличной от E . Тогда
AK1E = 
ANE = a,
EK1M = 180o - 
ECM = 180o-a,
поэтому
AK1E + 
EK1M = 180o.
Значит, точки A , K1 и M лежат на одной прямой. Аналогично, точки C , K1 и N также лежат на одной прямой. Следовательно, точка K1 совпадает с точкой K пересечения прямых AM и CN . Поскольку
ANE = a = 
BCE,
четырёхугольник BNEC – вписанный. Значит, точки B , N , E и C лежат на одной окружности. Вписанные в эту окружность углы BEN и BCN опираются на одну и ту же дугу, поэтому они равны. Значит,
BEN = 
BCN = 
MCK = 
MEK.
Поскольку точки B и D симметричны относительно прямой AC , то
DEA = 
BEA , поэтому
DEA = 
BEA = 
BEN+ 
AEN =
BEN + (180o-2a) = 
MEK + (180o-2a) =
MEK + 
CEM = 
KEC.
Следовательно, точки K , E и D лежат на одной прямой.
Рассмотрим случай, когда точки N и M лежат на сторонах ромба. Остальные случаи рассматриваются аналогично. Обозначим
BAC = 
BCA = a .
Поскольку
CEN = 
CEM + 
MEN = (180o-2a) +
MEN = 
AEN + 
MEN = 
AEM,
треугольники CEN и MEA равны по двум сторонам и углу между ними. Значит,
ENC = 
KAE . Поэтому точки A , N , K , E лежат на одной
окружности. Аналогично, точки C , M , K , E также лежат на одной окружности.
Следовательно,
AKE = 
ANE = 
EAN = a = 
ECM = 
EMC = 
CKE,
т.е. KE – биссектриса угла AKC . Поскольку
ADC = 180o-2a , а 
AKC = 2a , четырёхугольник
AKCD – вписанный. Продолжение биссектрисы KE треугольника AKC пересекает
описанную окружность этого четырёхугольника в середине дуги AC , не содержащей
точки K , т.е. в точке D . Следовательно, точки K , E и D лежат на одной прямой.
