Скрыть решение
Решение

Рассмотрим случай, когда точки
N и
M лежат на сторонах
ромба. Остальные случаи рассматриваются аналогично.
Обозначим
BAC =
BCA = a . Пусть окружности,
описанные около равнобедренных треугольников
ANE и
CME
пересекаются в точке
K1
, отличной от
E . Тогда
AK1E =
ANE = a,
EK1M = 180o -
ECM = 180o-a,
поэтому
AK1E +
EK1M = 180o.
Значит, точки
A ,
K1
и
M лежат на одной прямой. Аналогично,
точки
C ,
K1
и
N также лежат на одной прямой. Следовательно,
точка
K1
совпадает с точкой
K пересечения прямых
AM и
CN .
Поскольку
ANE = a =
BCE,
четырёхугольник
BNEC – вписанный. Значит, точки
B ,
N ,
E и
C
лежат на одной окружности. Вписанные в эту окружность углы
BEN и
BCN опираются на одну и ту же дугу, поэтому они равны. Значит,
BEN =
BCN =
MCK =
MEK.
Поскольку точки
B и
D симметричны относительно прямой
AC , то
DEA =
BEA , поэтому
DEA =
BEA =
BEN+
AEN =
=
BEN + (180o-2a) =
MEK + (180o-2a) =
MEK +
CEM =
KEC.
Следовательно, точки
K ,
E и
D лежат на одной прямой.

Рассмотрим случай, когда точки
N и
M лежат на сторонах
ромба. Остальные случаи рассматриваются аналогично.
Обозначим
BAC =
BCA = a .
Поскольку
EC = EM, EN = EA,
CEN =
CEM +
MEN = (180o-2a) +
MEN =
AEN +
MEN =
AEM,
треугольники
CEN и
MEA равны по двум сторонам и углу между ними.
Значит,
ENC =
KAE . Поэтому точки
A ,
N ,
K ,
E лежат на одной
окружности. Аналогично, точки
C ,
M ,
K ,
E также лежат на одной окружности.
Следовательно,
AKE =
ANE =
EAN = a =
ECM =
EMC =
CKE,
т.е.
KE – биссектриса угла
AKC .
Поскольку
ADC = 180
o-2
a , а
AKC = 2
a , четырёхугольник
AKCD – вписанный. Продолжение биссектрисы
KE треугольника
AKC пересекает
описанную окружность этого четырёхугольника в середине дуги
AC , не содержащей
точки
K , т.е. в точке
D . Следовательно, точки
K ,
E и
D лежат на одной прямой.