Решение
Пусть вписанная окружность четырёхугольника ABCD касается его стороны AB в точке P . Из точек P и E отрезок OB виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром OB . Докажем, что на этой окружности лежит и точка K . Действительно, поскольку POA – половина центрального угла POF вписанной окружности данного четырёхугольника, а PEF – угол, вписанный в эту окружность, то
POA = 
PEF . Поэтому
POK = 
PEK .
Значит, точка K лежит на окружности, проходящей через точки P , O и E ,
т.е. на окружности с диаметром OB
Из доказанного следует, что 
BKO = 90o . Аналогично докажем,
что 
CND = 90o . Значит, из точек K и N отрезок OM
виден под прямым углом. Следовательно, точки O , K , M и N лежат на
окружности с диаметром OM .
