Скрыть решение
Решение
Пусть вписанная окружность четырёхугольника
ABCD касается его
стороны
AB в точке
P . Из точек
P и
E отрезок
OB виден
под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром
OB . Докажем, что на этой окружности лежит и точка
K .
Действительно, поскольку
POA – половина центрального угла
POF
вписанной окружности данного четырёхугольника, а
PEF – угол, вписанный
в эту окружность, то
POA =
PEF . Поэтому
POK =
PEK .
Значит, точка
K лежит на окружности, проходящей через точки
P ,
O и
E ,
т.е. на окружности с диаметром
OB
Из доказанного следует, что
BKO = 90
o . Аналогично докажем,
что
CND = 90
o . Значит, из точек
K и
N отрезок
OM
виден под прямым углом. Следовательно, точки
O ,
K ,
M и
N лежат на
окружности с диаметром
OM .