Подсказка
Рассмотрите гомотетию с центром в точке B.
Решение
При гомотетии с центром в точке B окружность S переходит в окружность S" , касающуюся окружности S в точке B . Если при этом точка A переходит в точку A" , а точка C – в С , то точки A" и C" лежат на прямых BA и BC соответственно, касательная AC к окружности S переходит в касательную A"C" к окружности S" , медиана BN треугольника ABC – в медиану BN" треугольника A"BC" . Если мы докажем, что касательные к окружности S" , проведённые в точках E" и F" , соответствующих точкам E и F , пересекаются на медиане BN" треугольника A"BC" , то, рассмотрев обратную гомотетию, получим утверждение исходной задачи. Пусть H – точка пересечения высот треугольника ABC . В качестве окружности S" возьмём окружность с диаметром BH и докажем, что прямая E"N касается окружности S" . Действительно, поскольку HE"
AB , то CE" – высота треугольника
ABC . Тогда 
ABK = 
ACE" , а т.к. E"N – медиана прямоугольного
треугольника AE"C , проведённая из вершины прямого угла, то
NE"C = 
NCE" = 
ACE"= 
ABK = 
E"BH.
Тогда, если O – центр окружности S" , то
OE"N = 
OE"H + 
NE"C =
(90o-
OE"B) + 
E"BH =
(90o-
E"BH) + 
E"BH = 90o.
следовательно, NE" – касательная к окружности S" . Аналогично докажем, что NF" – также касательная к S" . Таким образом, касательные, проведённые к окружности S" в точках E" и F" пересекаются на прямой, содержащей медиану треугольника ABC , проведённую из вершины B . Следовательно, касательные к гомотетичной S" окружности S , проведённые в соответствующих точках E и F , также пересекаются на этой прямой.
