Скрыть решение
Подсказка
Рассмотрите гомотетию с центром в точке B.
Решение
При гомотетии с центром в точке
B окружность
S переходит
в окружность
S" , касающуюся окружности
S в точке
B . Если при
этом точка
A переходит в точку
A" , а точка
C – в
С
,
то точки
A" и
C" лежат на прямых
BA и
BC соответственно,
касательная
AC к окружности
S переходит в касательную
A"C"
к окружности
S" , медиана
BN треугольника
ABC – в медиану
BN" треугольника
A"BC" . Если мы докажем, что касательные к
окружности
S" , проведённые в точках
E" и
F" , соответствующих точкам
E и
F , пересекаются на медиане
BN" треугольника
A"BC" , то, рассмотрев
обратную гомотетию, получим утверждение исходной задачи.
Пусть
H – точка пересечения высот треугольника
ABC . В качестве
окружности
S" возьмём окружность с диаметром
BH и докажем, что прямая
E"N касается окружности
S" .
Действительно, поскольку
HE"
AB , то
CE" – высота треугольника
ABC . Тогда
ABK =
ACE" , а т.к.
E"N – медиана прямоугольного
треугольника
AE"C , проведённая из вершины прямого угла, то
NE"C =
NCE" =
ACE"=
ABK =
E"BH.
Тогда, если
O – центр окружности
S" , то
OE"N =
OE"H +
NE"C =
(90o-
OE"B) +
E"BH =
(90o-
E"BH) +
E"BH = 90o.
следовательно,
NE" – касательная к окружности
S" . Аналогично
докажем, что
NF" – также касательная к
S" .
Таким образом, касательные, проведённые к окружности
S" в точках
E" и
F" пересекаются на прямой, содержащей медиану треугольника
ABC , проведённую из вершины
B . Следовательно, касательные к
гомотетичной
S" окружности
S , проведённые в соответствующих точках
E и
F , также пересекаются на этой прямой.