Скрыть решение
Решение
Продолжим радиус
OK вписанной окружности треугольника
ABC до пересечения с
MN в точке
L . Через точку
L
проведём прямую, параллельную стороне
AC и обозначим
через
A1
и
C1
точки пересечения этой прямой
со сторонами
AB и
BC соответственно.
Поскольку
OK
AC и
A1
C1
|| AC , то
KL
A1
C1
.
Из точек
L и
M отрезок
OA1
виден под прямым углом,
значит эти точки лежат на окружности с диаметром
OA1
.
Вписанные углы
MLA1
и
MOA1
этой окружности опираются
на одну и ту же дугу, поэтому
MOA1
=
MLA1
.
Аналогично
NOC1
=
NLC1
, а т.к.
MLA1
=
NLC1
(как вертикальные углы), то
MOA1
=
NOC1
. Значит, прямоугольные треугольники
MOA1
и
NOC1
равны по катету (
OM=ON ) и прилежащему острому
углу. Следовательно,
OA1
=OC1
, т.е. треугольник
A1
OC1
– равнобедренный. Его высота
OL является медианой, поэтому
L –
середина
A1
C1
.
С другой стороны, поскольку
BB1
– медиана треугольника
ABC ,
а
A1
C1
|| AC , то точка
D пересечения
BB1
и
A1
C1
– также середина
A1
C1
. Значит, точка
L
совпадает с точкой
D . Отсюда следует утверждение задачи.