Решение
Продолжим радиус OK вписанной окружности треугольника ABC до пересечения с MN в точке L . Через точку L проведём прямую, параллельную стороне AC и обозначим через A1 и C1 точки пересечения этой прямой со сторонами AB и BC соответственно. Поскольку OK
AC и A1C1 || AC , то
KL 
A1C1 .
Из точек L и M отрезок OA1 виден под прямым углом,
значит эти точки лежат на окружности с диаметром OA1 .
Вписанные углы MLA1 и MOA1 этой окружности опираются
на одну и ту же дугу, поэтому 
MOA1= 
MLA1 .
Аналогично 
NOC1= 
NLC1 , а т.к.
MLA1 = 
NLC1 (как вертикальные углы), то
MOA1=
NOC1 . Значит, прямоугольные треугольники
MOA1 и NOC1 равны по катету ( OM=ON ) и прилежащему острому
углу. Следовательно, OA1=OC1 , т.е. треугольник A1OC1
– равнобедренный. Его высота OL является медианой, поэтому L –
середина A1C1 .
С другой стороны, поскольку BB1 – медиана треугольника ABC ,
а A1C1 || AC , то точка D пересечения BB1 и
A1C1 – также середина A1C1 . Значит, точка L
совпадает с точкой D . Отсюда следует утверждение задачи.
