Скрыть решение
Решение
Пусть для определённости точка
O лежит на продолжении
отрезка
AB за точку
B . Обозначим через
P и
Q точки
пересечения
KL с окружностью
, через
M и
N –
точки касания сторон
BC и
AD с
. Проведём
касательные
l1
и
l2
к
в точках
P и
Q .
Обозначим через
a угол между касательной
l1
(или
l2
) и хордой
PQ .
При гомотетии с центром
O , переводящей окружность
1
в окружность
, касательная
BC в точке
K перейдёт
в
l2
; при гомотетии с центром
O , переводящей окружность
2
в
, прямая
AD перейдёт в
l1
. Поэтому
BC || l2
и
AD || l1
и, следовательно,
LKC=
KLD = a .
Кроме того,
BMN =
ANM как углы между касательной и хордой.
Отсюда получаем, что четырёхугольник
KLNM – равнобедренная трапеция и
NMC =
MND = a . Таким образом, хорды
PQ и
MN
параллельны и стягивают равные дуги величиной
2
a . Следовательно,
средняя линия этой трапеции проходит через центр окружности
.
Но середина
KM совпадает с серединой
BC (известно, что точки касания
стороны треугольника со вписанной и вневписанной окружностью симметричны
относительно середины стороны), и середина
LN совпадает с серединой
AD .