Решение
Пусть для определённости точка O лежит на продолжении отрезка AB за точку B . Обозначим через P и Q точки пересечения KL с окружностью , через M и N – точки касания сторон BC и AD с . Проведём касательные l1 и l2 к в точках P и Q . Обозначим через a угол между касательной l1 (или l2 ) и хордой PQ . При гомотетии с центром O , переводящей окружность 1 в окружность , касательная BC в точке K перейдёт в l2 ; при гомотетии с центром O , переводящей окружность 2 в , прямая AD перейдёт в l1 . Поэтому BC || l2 и AD || l1 и, следовательно,
LKC=
KLD = a .
Кроме того, 
BMN = 
ANM как углы между касательной и хордой.
Отсюда получаем, что четырёхугольник KLNM – равнобедренная трапеция и
NMC = 
MND = a . Таким образом, хорды PQ и MN
параллельны и стягивают равные дуги величиной 2a . Следовательно,
средняя линия этой трапеции проходит через центр окружности .
Но середина KM совпадает с серединой BC (известно, что точки касания
стороны треугольника со вписанной и вневписанной окружностью симметричны
относительно середины стороны), и середина LN совпадает с серединой AD .
