Уроки 22–23. Игра в Сим

Материалы к урокам: лист определений «Игра в Сим», бумажные задачи 54–60 (1 часть), компьютерный урок «Игра в Сим» (задачи 489–494), занятие 7 на Клавиатурном тренажере.

На каждом из уроков по данной теме работа с бумажным учебником интегрируется с компьютерной составляющей. На первом уроке ребята изучают новый лист определений, решают две обязательные задачи и затем переходят к работе с Клавиатором. На втором уроке ребята решают компьютерные задачи уроков и дорешивают все оставшиеся задачи из бумажного учебника.

Игра в Сим

Эта игра, хотя и использует в качестве поля игры окружность, лишь в малой степени является геометрической (в отличие, например, от игры Ползунок). Сим – игра, скорее, просто комбинаторная. Математики и другие профессионалы, использующие математический аппарат, имеют определенное представление о том, когда та или иная задача или метод ее решения являются геометрическими, алгебраическими, аналитическими, комбинаторными, вероятностными и т. д. В последнее время в математике часто говорят о «нелинейных» задачах. Вероятно, вырисовывается и некоторый класс алгоритмических, информатических задач. Хотя эти различия и не входят в школьный курс, но они могут оказаться вам полезными при анализе того стиля, в котором дети пытаются решать задачи, того, почему задачи одного типа получаются у одних детей, а другого – у других.

В отличие, например, от игры Крестики-нолики или Слова, игра Сим может для большинства ребят оказаться незнакомой. Кроме того, по сравнению со всеми предыдущими играми здесь сложнее определить заключительную позицию, особенно если одноцветный треугольник не возник. Действительно, в игре Камешки заключительная позиция видна всегда, в игре Крестики-нолики отсутствие ряда из трех одинаковых значков и наличие свободных клеток говорит о возможности продолжения игры. О том же в игре Ползунок говорит наличие свободных точек, с которыми может быть соединен хотя бы один из концов Ползунка. В игре Сим, если точек на окружности много (больше четырех), дети могут легко не заметить того, что какие-то точки еще не соединены, и закончить игру преждевременно. Обратите на это внимание ваших учеников. Обсудите с ними, сколько всего отрезков может выходить из одной точки (на один меньше, чем всего точек). Таким образом, простой проверкой того, остались ли еще возможные ходы, является пересчет отрезков, выходящих из каждой точки.

Решение бумажных задач

Задача 54. Первая после листа определений задача, как обычно, предлагается детям для того, чтобы они освоились с новыми понятиями, в данном случае – с правилами игры в Сим. На начальном этапе ребятам наверняка потребуется некоторый контроль. Например, после того как учащиеся поработали с листом определений, есть смысл провести несколько партий игры Сим на доске под контролем всего класса. При проведении кругового турнира в группах можно для каждой партии назначить одного-двух контролеров. Несмотря на то, что при проведении двух партий одновременно турнир можно закончить гораздо быстрее, все-таки лучше, чтобы процесс игры многократно проверялся (не только игроками, но и контролерами). Чтобы контролерам в группах было проще проверять, является ли данная позиция заключительной, можно перед началом игр вместе обсудить, сколько всего должно быть проведено отрезков в случае ничьей (на окружности с пятью точками) и с какого хода могут появляться одноцветные треугольники. Конечно, на листе определений ребята уже читали, что в случае ничьей на окружности с пятью точками игроки делают по 5 ходов (проводят всего 10 отрезков), однако учащимся полезно убедиться в этом самим.

Надеемся, что с заполнением турнирной таблицы у ребят трудностей не возникнет: ведь подобные задания они уже выполняли несколько раз для других игр.

Задача 55. В отличие от предыдущей задачи каждый учащийся здесь играет за Первого, за Второго и сам же является контролером. С одной стороны, это проще, ведь можно «подыгрывать». Например, если ребенок хочет закончить партию побыстрее, он может завершить цепочку игры уже на шестой позиции. С другой стороны, каждый ученик теперь должен сам следить за соблюдением правил игры, в частности, за соблюдением очередности хода, за тем, чтобы на каждом ходу появлялся только один отрезок, за тем, чтобы все ходы аккуратно переносились с предыдущей позиции на следующую.
Провести проверку поможет указание. Действительно, если некоторая позиция заключительная, то либо есть одноцветный треугольник, либо все точки на окружности соединены. Первое проверить достаточно просто. Если в предыдущей задаче вы обсуждали с ребятами, сколько отрезков на окружности с пятью точками должно выходить из каждой точки в случае ничьей, то достаточно просто посчитать это в заключительной позиции, если нет – можно обсудить вопрос о числе отрезков в этой задаче.

Мы приводим один пример цепочки игры с заданным началом, в которой каждый из игроков стремился к выигрышу:

Задача 56. Подобная задача ребятам уже встречалась (см. комментарий к бумажной задаче 31). Поэтому данную задачу можно использовать для повторения и обобщения на более высоком уровне. Например, если, решая задачу 31, ребята писали цепочки чисто формально, попросите их здесь составлять цепочки «честной» игры, где ни один игрок не поддается и каждый пытается выиграть (впоследствии мы назовем такую игру разумной). Для этого лучше всего подойдет игровой вариант решения – сыграть с соседом несколько партий в Камешки по данным в задаче правилам и обобщить закономерные игровые ситуации. Так, в ходе игр становится ясно, что если Первый на первом ходу взял 3 камешка, то Второй при «честной» игре на втором ходу возьмет 3 оставшихся камешка и выиграет. Если же Первый на первом ходу возьмет 4 камешка, то Второй проиграет в любом случае. Если же Первый на первом ходу берет 1 камешек, то игра может сложиться по-разному, в зависимости от следующего хода Второго. Можно проводить обобщение в другом направлении. Например, спросить у ребят, можно ли по длине цепочки игры сразу определить победителя. Да, если цепочка четной длины, то выигрывает Первый, если нечетной – Второй. Значит, задача сводится к тому, чтобы написать две цепочки игры – четной и нечетной длины.

Задача 57. Эта задача сложнее, чем задача 55 об игре в Сим. Здесь нужно сначала спланировать решение на черновике (например, на пустом поле с листа вырезания) и только потом построить цепочку ходов, воспользовавшись заготовками на листе вырезания. Нужно вспомнить правила игры, понять, какая позиция будет выигрышной для Второго – это треугольник из синих отрезков (ведь Второй выигрывает, когда проигрывает Первый). Некоторые дети могут строить решение этой задачи довольно долго. Другие могут найти простое решение сразу. И тот и другой случай представляет определенный интерес.

Короткое решение основывается на том, что Первый может стремиться к проигрышу, а Второй просто не должен ему мешать. При таком подходе ясно, что очередной ход Второго может быть почти любым, а следующий ход Первого замыкает треугольник и немедленно приводит его к проигрышу:


Это простое построение не смогут провести дети, которые захотят, чтобы Первый играл «правильно», «разумно», «не поддавался» и т. д. Таким образом, здесь есть, что обсудить и в чем разобраться. Если будет время, предложите детям самим поиграть в Сим с данным началом игры (можно опять-таки использовать пустые поля с листа вырезаний, которые мы специально заготовили с запасом). Затем можно собрать заключительные позиции разных игр, в которых выиграл Второй, и обсудить их.

Вот одна из цепочек игры с «разумной» игрой обоих игроков:


Задача 58. Необязательная. Здесь ребята столкнутся с тем, что склеивание разных цепочек может приводить к одному результату. С подобной ситуацией учащиеся встречаются и на других уроках. Например, одно число можно представить в виде нескольких различных сумм. Решений у этой задачи, конечно, гораздо больше двух, которые требуется предъявить. Поэтому мы не будем приводить здесь возможные варианты ответа.

Задача 59. Эту задачу можно считать упрощенным вариантом задачи 33, поскольку здесь не требуется полностью строить цепочку игры и никаких позиций, кроме начальной, не задано. Если кто-то из ребят затрудняется с решением, попробуйте с помощью вопросов навести его на мысли о связи длины Ползунка (четности-нечетности числа его звеньев) и выигрыша определенного игрока (см. комментарии к бумажным задачам 15, 27, 33). Посоветуйте ребятам сначала работать в черновике (на запасных полях 3×3 с листа вырезания), а уже потом нарисовать соответствующие позиции в учебнике. Лучше, если ходы Первого и Второго ребята будут, как обычно, раскрашивать двумя разными цветами, так им проще будет увидеть победителя, а вам проверить правильность ответа.

Задача 60. Необязательная. В этой задаче задействован довольно широкий круг понятий нашего курса. Особенно активно ребятам приходится работать с понятием «путь», анализируя пути как цепочки, с одной стороны, и как части дерева – с другой. Так, определяя истинность пятого утверждения, ребята должны понимать, что первая бусина каждого пути – корневая бусина дерева. Поскольку в дереве С корневая бусина одна и эта фигурка – жук, то утверждение истинно. Чтобы определить истинность восьмого утверждения, нужно аккуратно перебрать все пути дерева, найти в каждой из цепочек третью бусину (собственно, это все бусины третьего уровня) и проверить, что все эти фигурки – жуки. Особого внимания заслуживают утверждения, не имеющие смысла для данного дерева. Третье утверждение не имеет смысла, так как корневая бусина – фигурка жука, и она не имеет предыдущей, а последнее – так как в дереве С есть пути длины 3 и в них отсутствует четвертая фигурка.
Ответ:


Решение компьютерных задач

Задача 489. Задача на усвоение правил новой игры. Задача эта, как видите, несложная, аналогичная подобным задачам на цепочку игр в Крестики-нолики или Ползунок. В этой задаче правильный порядок позиций тоже можно установить достаточно формально, ориентируясь только на число отрезков в позиции, поскольку на каждом ходу добавляется ровно 1 отрезок.

Задач 490. Эта задача сложнее похожей бумажной задачи 55, поскольку здесь задана длина цепочки. Всего на окружности с пятью точками можно построить 10 отрезков. Длина нашей цепочки 10, значит в игре было сделано 9 ходов. Таким образом, делаем вывод, что игра закончилась не вничью, а выигрышем одного из игроков. При этом последний ход сделал Первый (поскольку в игре было сделано 9 ходов) и он проиграл. Таком образом, на поле в заключительной позиции должно быть 9 отрезков и ровно один треугольник из красных отрезков. Треугольников из синих отрезков на поле быть не должно. Таким образом, один из вариантов решения этой задачи – сначала построить заключительную позицию, удовлетворяющую всем описанным условиям, а потом строить партию от конца к началу. Можно делать и наоборот, следя по ходу за выполнением всех условий и правил игры.

Задача 491. Задача на повторение листа определений «Мешок бусин цепочки». Аналогичных задач в курсе 3 класса ребята решали достаточно, поэтому думаем никаких проблем с этой задачей не будет.
Ответ: КОБУРА – УБОРКА, ПОГРЕБ – ПРОБЕГ, БАРСУК – СРУБКА.

Задача 492. Знакомая детям задача на повторение листа определений «Программа для Робота». Пропущенные команды: вниз, вверх, вверх, вправо.

Задача 493. Усложненная задача на построение мешка по его таблице. Сложно ее в том, что шарики можно положить в мешок только тройками. Это значит, что приходится по ходу учитывать шарики сразу нескольких цветов. Заметим, что шарики некоторых цветов связаны между собой. Так, красные шарики попадаются в связках только вместе с фиолетовыми, а голубые – с зелеными. Поэтому условия в таблице будут выполнять автоматически. Как обычно в таких задачах лучше начать с шариков, которых в таблице меньше всего, то есть с синих.

Задача 494. Необязательная. Задача на повторение алгоритма подсчета областей картинки. Как видите, областей в этой картинке довольно много, однако почти все они легко выделяются, да и электронная заливка оказывает при решении существенную помощь. Поэтому данная задача больше подойдет средним и слабым ученикам, у которых на уроке осталось время (сильным такую задачу решать будет скучно).
Ответ: в этой картинке 21 область.